センター試験 数学I・数学A 2006年度 第4問 解説

問題編

【問題】
　袋A,B,C,Dがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋A,B,C,Dからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれa,b,c,dとする。

(1) a,b,c,dの最大の数が3以下である場合は[アイ]通りあり、最大の数が4である場合は[ウエオ]通りある。

(2) a,b,c,dについて、$a\lt b\lt c$となる場合は[カキ]通りある。

(3) 出た数a,b,c,dによって、次のように得点を定める。

　$a\leqq b\leqq c\leqq d$のときは、$(d-a+1)$点
　それ以外のときは、0点

　(i) 得点が1点となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$であり、得点が4点となる確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である。
　(ii) 得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツテ]}$点である。

【考え方】
(1)は計算で求めることができます。「最大が4」は、「最大が3以下ではない」と考えて計算します。

(2)は、数えてみるしかありません。a,b,cのパターンを書き出してみます。

(3)も、書き出すのとほぼ同じ労力が必要です。計算で場合の数を出すことができません。もれなくダブりなく数える必要があります。順番に場合分けをして解いていきます。この数え上げは少し難しいです。

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解答編

【問題】
　袋A,B,C,Dがあり、それぞれに4枚のカードが入っている。各袋のカードには、1から4までの番号がつけられている。袋A,B,C,Dからカードを1枚ずつ取り出し、出た数をそれぞれa,b,c,dとする。

(1) a,b,c,dの最大の数が3以下である場合は[アイ]通りあり、最大の数が4である場合は[ウエオ]通りある。

【解説】
どの数字も3以下であればいいので、最大の数が3以下となる場合は、$3^4=81$通りです。

また、最大の数が4である場合は、全体から「最大の数が3以下となるとき」を引けば求めることができます。よって、
\begin{eqnarray} 4^4-81=256-81=175 \end{eqnarray}通りとなります。

【解答】
アイ：81
ウエオ：175

【問題】
(2) a,b,c,dについて、$a\lt b\lt c$となる場合は、[カキ]通りある。

【解説】
場合分けをして数えていきます。まずは、a,b,cだけ考えます。

aは1か2しかありえません。$a=1$のとき、$b=2$とすると$c=3,4$で2通り、$b=3$のときは$c=4$で1通りなので、$a=1$のときは3通りです。

一方、$a=2$のときは、$b=3$で$c=4$となるしかないので、1通りです。

以上から、a,b,cは4通りです。dは何でもいいので、$4\times 4=16$通りとなります。

【解答】
カキ：16

【問題】
(3) 出た数a,b,c,dによって、次のように得点を定める。

　$a\leqq b\leqq c\leqq d$のときは、$(d-a+1)$点
　それ以外のときは、0点

　(i) 得点が1点となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケコ]}$であり、得点が4点となる確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である。
　(ii) 得点の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツテ]}$点である。

【解説】
得点が1点のときは、$a,b,c,d$がすべて同じときしかありません。よって、4通りです。全体では$4^4=256$通りなので、1点となる確率は$\displaystyle \frac{4}{256}=\frac{1}{64}$となります。

得点が4点となるのは、$a=1$かつ$d=4$のときです。次に、$b,c$が何通りあるかを数えます。
$b=1$のときは$c=1,2,3,4$で4通り
$b=2$のときは$c=2,3,4$で3通り
$b=3$のときは$c=3,4$で2通り
$b=4$のときは$c=4$で1通り。
よって、10通りです。このことから、得点が4点となる確率は、$\displaystyle \frac{10}{256}=\frac{5}{128}$となります。

期待値を求めるためには、得点が2点、3点となる場合の数も求める必要があります。

得点が2点となるときは、「$a=1,d=2$」「$a=2,d=3$」「$a=3,d=4$」の3通りあります。また$b,c$の組み合わせは、それぞれに対し、$a=b=c$となる場合、$a=b,c=d$となる場合、$b=c=d$となる場合の3通りあります。よって、$3\times 3=9$通りあります。

得点が3点となるのは、$a=1,d=3$、$a=2,d=4$の2通りがあります。次に、$b,c$の組み合わせを考えます。
$b=a$のとき、$c=a,a+1,a+2$の3通りあります。
$b=a+1$のときは、$c=a+1,a+2$の2通りです。
$b=a+2$のときは、$c=a+2$の1通りです。
以上から、$2\times 6=12$通りと求められます。

以上から、得点の期待値は次のように求めることができます。
\begin{eqnarray} & & 1\times\frac{4}{256} +2\times\frac{9}{256} +3\times\frac{12}{256} +4\times\frac{10}{256} \\[5pt] &=& \frac{4+18+36+40}{256} \\[5pt] &=& \frac{98}{256} \\[5pt] &=& \frac{49}{128} \\[5pt] \end{eqnarray}

【解答】
クケコ：164
サシスセ：5128
ソタチツテ：49128