センター試験 数学I・数学A 2006年度 第1問 [2] 解説
問題編
【問題】
aは実数とし、bは0でない実数とする。aとbに関する条件p,q,rを次のように定める。
p： a,bはともに有理数である
q： $a+b$,$ab$はともに有理数である
r： $\displaystyle \frac{a}{b}$は有理数である(1) 次の[ス]に当てはまるものを、下の0～3のうちから一つ選べ。
条件pの否定$\overline{ p }$は[ス]である。
0: 「a,bはともに有理数である」
1: 「a,bはともに無理数である」
2: 「a,bの少なくとも一方は有理数である」
3: 「a,bの少なくとも一方は無理数である」(2) 次の[セ]に当てはまるものを、下の0～3のうちから一つ選べ。
条件「qかつr」は条件pが成り立つための[セ]。
0: 必要十分条件である
1: 必要条件であるが十分条件ではない
2: 十分条件であるが必要条件ではない
3: 必要条件でも十分条件でもない(3) 次の0から7のうち、正しいものは[ソ]である。
0: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
1: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
2: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
3: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
4: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
5: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
6: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
7: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
【考え方】
まず(1)は、「両方Aである」の否定が「どちらか片方がAではない」であることに注意して選びます。
(2)は反例に注意して考えます。少し思いつきにくいかもしれませんが、ルートが打ち消しあってしまう例を考えます。
(3)は、元の命題と対偶の命題は真偽が同じであることに注意します。つまり、元の命題が真なら対偶も真になります。よって、3つ考えないといけないわけではなく、元の命題とその逆の2つを考えればOKです。
解答編
【問題】
aは実数とし、bは0でない実数とする。aとbに関する条件p,q,rを次のように定める。
p： a,bはともに有理数である
q： $a+b$,$ab$はともに有理数である
r： $\displaystyle \frac{a}{b}$は有理数である(1) 次の[ス]に当てはまるものを、下の0～3のうちから一つ選べ。
条件pの否定$\overline{ p }$は[ス]である。
0: 「a,bはともに有理数である」
1: 「a,bはともに無理数である」
2: 「a,bの少なくとも一方は有理数である」
3: 「a,bの少なくとも一方は無理数である」
【解説】
「ともにAである」の否定は「どちらかがAではない」です。なので、「ともに有理数」の否定は、「どちらかが有理数ではない」となります。「有理数ではない」ということは、「無理数」ということなので、「a,bの少なくとも一方は無理数である」が正解です。
【解答】
ス：3
【問題】
(2) 次の[セ]に当てはまるものを、下の0～3のうちから一つ選べ。条件「qかつr」は条件pが成り立つための[セ]。
0: 必要十分条件である
1: 必要条件であるが十分条件ではない
2: 十分条件であるが必要条件ではない
3: 必要条件でも十分条件でもない
【解説】
まずは、「qかつrならばp」が成り立つかを考えます。
反例がないか考えてみると、$a=\sqrt{2}$、$b=-\sqrt{2}$のとき、$a+b,ab,\frac{a}{b}$がすべて有理数になってしまいます。つまり、上の命題は成り立たないということです。
逆に、「pならばqかつr」が成り立つかを考えてみます。有理数は四則演算を行っても、答えは有理数になるので、こちらは正しいです。
よって、「qかつr」は条件pが成り立つための、必要条件であるが十分条件ではないことがわかります。
【解答】
セ：1
【問題】
(3) 次の0から7のうち、正しいものは[ソ]である。0: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
1: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
2: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
3: 「$p\Rightarrow q$」は真、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
4: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
5: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は真、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
6: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は真である。
7: 「$p\Rightarrow q$」は偽、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽、「$p\Rightarrow q$」の対偶は偽である。
【解説】
(2)で見た通り、「$p\Rightarrow q$」は真です。
一方、$a=\sqrt{2}$、$b=-\sqrt{2}$のときを考えると、「$q\Rightarrow p$」は偽であることがわかります。つまり、「$p\Rightarrow q$」の逆は偽です。
元の命題と、対偶の真偽は同じなので、「$p\Rightarrow q$」は真だから「$p\Rightarrow q$」の対偶も真です。
以上のことから、選択肢の中では2が正しいものになります。
【解答】
ソ：2
