センター試験数学I・数学A 2006年度第1問 [1] 解説

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問題編

問題

　2次方程式 $x^2-3x-1=0$ の解が $\alpha,\beta$ で、 $\alpha\gt\beta$ とするとき、\[ \alpha=\frac{[ア]+\sqrt{[イウ]} }{2}, \quad \beta=\frac{[ア]-\sqrt{[イウ]} }{2} \]である。また、
　$m\lt\alpha\lt m+1$ を満たす整数 m の値は $m=[エ]$
　$n\lt\beta\lt n+1$ を満たす整数 n の値は $n=[オカ]$
である。

　次に、\[ \alpha + \frac{1}{\alpha}=\sqrt{[キク]} \]であり、\[ \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}=[ケコ]\sqrt{[サシ]} \]である。

考え方

1つ目は解の公式を使うだけですね。次は無理数の整数部分を求める問題です。$\alpha$ の整数部分をいきなり求めるのは難しいので、ルートの部分がどうなっているかをまず考え、分子全体ではどうか、分数全体ではどうか、と考えていくと解けます。

後半は、1つ目は有理化ですね。2つ目はそのまま3乗してはいけません。1つ目の結果をうまく使えば、複雑な計算をすることなく、答えが求まります。

解答編

問題

　2次方程式 $x^2-3x-1=0$ の解が $\alpha,\beta$ で、 $\alpha\gt\beta$ とするとき、\[ \alpha=\frac{[ア]+\sqrt{[イウ]} }{2}, \quad \beta=\frac{[ア]-\sqrt{[イウ]} }{2} \]である。

解説

解の公式に当てはめるだけですね。
\begin{eqnarray} x &=& \frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot(-1)} }{2} \\[5pt] &=& \frac{3\pm\sqrt{13} }{2} \end{eqnarray}です。

解答

アイウ：313

解答編つづき

問題

また、
　$m\lt\alpha\lt m+1$ を満たす整数 m の値は $m=[エ]$
　$n\lt\beta\lt n+1$ を満たす整数 n の値は $n=[オカ]$
である。

解説

まずは、 $\displaystyle \frac{3+\sqrt{13} }{2}$ を考えてみます。やっかいなのは $\sqrt{13}$ ですね。この値がどれくらいなのかを考えます。

いくつか整数を二乗して比較すると、 $3\lt\sqrt{13}\lt 4$ であることがわかります。なので、 $6\lt 3+\sqrt{13} \lt 7$ となります。さらに2で割ると、
\begin{eqnarray} 3 \lt \frac{3+\sqrt{13} }{2} \lt 3.5 \end{eqnarray}となることがわかります。よって、 $m\lt\alpha\lt m+1$ を満たす整数 m は3となります。

また、 $-4\lt -\sqrt{13} \lt -3$ なので、3を足して2で割ると
\begin{eqnarray} -0.5 \lt \frac{3-\sqrt{13} }{2} \lt 0 \end{eqnarray}となることがわかります。よって、 $n\lt\beta\lt n+1$ を満たす整数 n は-1となります。

解答

エ：3
オカ：-1

解答編つづき

問題

　次に、\[ \alpha + \frac{1}{\alpha}=\sqrt{[キク]} \]であり、\[ \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}=[ケコ]\sqrt{[サシ]} \]である。

解説

まずは $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$ を計算します。
\begin{eqnarray} \frac{2}{3+\sqrt{13} } &=& \frac{2(3-\sqrt{13})}{(3+\sqrt{13})(3-\sqrt{13})} \\[5pt] &=& \frac{2(3-\sqrt{13})}{9-13} \\[5pt] &=& \frac{-3+\sqrt{13} }{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、 \begin{eqnarray} \alpha + \frac{1}{\alpha} &=& \frac{3+\sqrt{13} }{2} + \frac{-3+\sqrt{13} }{2} \\[5pt] &=& \sqrt{13} \end{eqnarray}となります。

次に、 $\displaystyle \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ ですが、これを直接計算するのは大変です。しかし、先ほど求めたものを3乗すれば、簡単に求めることができます。
\begin{eqnarray} \left( \alpha + \frac{1}{\alpha} \right) ^3 &=& \alpha^3 + 3\alpha^2\cdot\frac{1}{\alpha} + 3\alpha\cdot\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^3} \\[5pt] &=& \alpha^3 + 3\left( \alpha + \frac{1}{\alpha} \right) + \frac{1}{\alpha^3} \\[5pt] \end{eqnarray}この最初の式と最後の式に先ほどの結果を入れると、 \begin{eqnarray} \left( \sqrt{13} \right) ^3 &=& \alpha^3 + 3\cdot \sqrt{13} + \frac{1}{\alpha^3} \\[5pt] 13\sqrt{13} &=& \alpha^3 + 3\sqrt{13} + \frac{1}{\alpha^3} \\[5pt] \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3} &=& 10\sqrt{13} \end{eqnarray}となります。