なかけんの数学ノート

【標準】ド・モルガンの法則(集合)

ここでは、「ド・モルガンの法則」を見ていきます。共通部分、和集合、補集合が出てくるので、不安な人は、【基本】共通部分と和集合【基本】補集合を先に読んだ方がいいでしょう。

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「かつ」以外

例えば、クラスの生徒を「東京ディズニーランド(TDL)に行ったことがあるか」「ユニバーサルスタジオジャパン(USJ)に行ったことがあるか」で分けたとしましょう。そうすると、生徒は次の4つのグループに分かれます。

  • TDLにもUSJにも行ったことがある
  • TDLに行ったことはあるが、USJには行ったことがない
  • TDLに行ったことはないが、USJには行ったことがある
  • TDLに行ったことがないし、USJにも行ったことがない

このとき、次の問題を考えてみましょう。

例題
「”TDLにもUSJにも行ったことがある人”以外」と同じ内容なのは、どっちでしょう。

  • TDLに行ったことがない、かつ、USJに行ったことがない
  • TDLに行ったことがない、または、USJに行ったことがない

「行ったことがある」以外なので、「行ったことが”ない”」になるのはわかると思います。しかし、「かつ」と「または」については、間違える人が多いんですよね。

表で考える

「行った/行ってない」を、次のような表にしてみましょう。「○」が「行った」、「×」が「行ってない」を示しています。

TDL USJ
グループ1
グループ2 ×
グループ3 ×
グループ4 × ×

「両方行ったことがある人」というのは、グループ1です。なので、「”両方行ったことがある人”以外」というと、グループ2から4までが対象です。

「TDLに行ったことがない、かつ、USJに行ったことがない」であれば、両方×のグループ4だけになってしまいます。一方、「TDLに行ったことがない、または、USJに行ったことがない」なら、1つでも×があればいいので、グループ2から4までになります。

このことから、「”TDLもUSJも行ったことがある人”以外」というのは、「TDLに行ったことがない、または、USJに行ったことがない」と同じ内容であることが分かります。

ここで重要なのは、「”AかつB“でない」が、「Aでない または Bでない」になるということです。「かつ」の否定が「または」になっている点がポイントです。

「または」以外

先ほどは「”AかつB“以外」を考えましたが、続いて「”AまたはB“以外」を考えてみます。同じ例で言えば、「”TDLに行ったことがある、または、USJに行ったことがある人”以外」ということです。

もう一度表で考えてみます。

TDL USJ
グループ1
グループ2 ×
グループ3 ×
グループ4 × ×

「TDLに行ったことがある、または、USJに行ったことがある人」というのは、グループ1から3までです。なので、これ以外というのは、グループ4だけということです。つまり、「TDLに行ったことがないし、USJにも行ったことがない人」ということです。

このことから、「”AまたはB“でない」が、「Aでない かつ Bでない」になることがわかります。

ド・モルガンの法則

今までの話が分かれば、「ド・モルガンの法則」はわかったも同然です。

「”AかつB”でない」が「Aでない、または、Bでない」と同じであること
「”AまたはB”でない」が「Aでない、かつ、Bでない」と同じであること

この2つが「ド・モルガンの法則」です。数式で書くと、次のようになります。

ド・モルガンの法則
  • $\overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
  • $\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

数式で書くとシンプルですが、これを見ても内容を理解するのは難しいかもしれません。ただ、やっていることは、今まで見たように「”AかつB”でない」や「”AまたはB”でない」を言い換えているだけです。

ちなみに、「ド・モルガン」は、この法則を見つけたイギリスの数学者の名前です。

おわりに

「”AかつB”でない」や「”AまたはB”でない」について見てきました。よくある間違いとして、「”AかつB”でない」を「Aでない、かつ、Bでない」にしてしまう、というものがあります。この記事で見たようにこれは間違いで、正しくは「Aでない、または、Bでない」です。

慣れてくると機械的に変換できますが、慣れるまでは表をかくなどして、落ち着いて考えましょう。

なお、ここで見た「ド・モルガンの法則」は、単独で問われることはないですが、今後学ぶ「命題」「場合の数」「確率」などで再び登場することになります。また出会ったときに、このページのことを思い出しましょう。

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対象者: 数学I
分野: 集合と命題
トピック: 集合と命題
レベル: 標準
キーワード: 集合
更新日:2016/11/22