【発展】三角比と直方体

ここでは、【標準】三角比と直方体で見た内容を一般的な場合で考えてみます。直方体の断面が三角形だった場合に、その断面の面積を一般的な形で求めてみます。すると、きれいな形になることがわかります。

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直方体の断面が三角形だったときの断面積

図のような直方体を考えます。三角形 ACF の面積を求めてみましょう。

master-trigonometry-and-cuboid-01

方針は、【標準】三角比と直方体と同じです。まずは、3辺の長さを求めます。三平方の定理から
\begin{eqnarray}
& & \mathrm{ AC }^2=c^2+a^2 \\
& & \mathrm{ CF }^2=a^2+b^2 \\
& & \mathrm{ FA }^2=b^2+c^2 \\
\end{eqnarray}と求められます。余弦定理から
\begin{eqnarray}
\cos \angle \mathrm{ ACF }
&=&
\frac{(c^2+a^2)+(a^2+b^2)-(b^2+c^2)}{2\cdot\sqrt{c^2+a^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}} \\[5pt] &=&
\frac{2a^2}{2\cdot\sqrt{c^2+a^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2}} \\[5pt] &=&
\frac{a^2}{ \sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)} } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。三角比の相互関係から
\begin{eqnarray}
\sin \angle \mathrm{ ACF }
&=&
\sqrt{ 1-\left( \frac{a^2}{ \sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)} } \right)^2 } \\[5pt] &=&
\frac{\sqrt{ (c^2+a^2)(a^2+b^2)-a^4 }}{ \sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)} } \\[5pt] &=&
\frac{\sqrt{ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 }}{ \sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)} } \\[5pt] \end{eqnarray}と求められるので、三角形 ACF の面積は
\begin{eqnarray}
& &
\frac{1}{2}\times \mathrm{ AC }\times\mathrm{ CF }\times \sin \angle \mathrm{ ACF } \\[5pt] &=&
\frac{1}{2}\times \sqrt{c^2+a^2}\times\sqrt{a^2+b^2}\times \frac{\sqrt{ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 }}{ \sqrt{(c^2+a^2)(a^2+b^2)} } \\[5pt] &=&
\frac{\sqrt{ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 }}{2}
\end{eqnarray}と求めることができます。

実際、【標準】三角比と直方体で見た例題をこの式を使って解くと、
\begin{eqnarray}
\frac{\sqrt{ 1^2\cdot2^2+2^2\cdot3^2+3^2\cdot1^2 }}{2}=\frac{\sqrt{49}}{2}=\frac{7}{2}
\end{eqnarray}となります。

上で求めた式を少し変形してみます。最後の式は、次のように書くこともできます。\[ \sqrt{ \frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}+\frac{c^2a^2}{4} } \]ルートの中のそれぞれのパーツをよく見ると、 $\triangle \mathrm{ BCF }$, $\triangle \mathrm{ BFA }$, $\triangle \mathrm{ BAC }$ の面積の2乗になっています。このことから、次の式が成り立つことがわかります。\[ (\triangle \mathrm{ ACF })^2 = (\triangle \mathrm{ BCF })^2+(\triangle \mathrm{ BFA })^2+(\triangle \mathrm{ BAC })^2 \]なかなかきれいな関係式ですね。

おわりに

ここでは、直方体の断面が三角形だった場合に、その断面の面積を一般的な形で求めてみました。断面積の2乗は、まわりの三角形の面積の2乗の和になる、というきれいな関係が成り立つことがわかりました。試験では、検算として使うことができます。