なかけんの数学ノート

東京大学 理系 2015年度 第2問 解説

問題編

【問題】
どの目も出る確率が$\displaystyle\frac{1}{6}$のさいころを1つ用意し、次のように左から順に文字を書く。

さいころを投げ、出た目が1, 2, 3のときは文字列AAを書き、4のときは文字Bを、5のときは文字Cを、6のときは文字Dを書く。さらに繰り返しさいころを投げ、同じ規則に従って、AA, B, C, Dをすでにある文字列の右側につなげて書いていく。

たとえば、さいころを5回投げ、その出た目が順に2, 5, 6, 3, 4であったとすると、得られる文字列は、\[\mathrm{AACDAAB}\]となる。このとき、左から4番目の文字はD、5番目の文字はAである。

(1) $n$を正の整数とする。$n$回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n$番目の文字がAとなる確率を求めよ。

(2) $n$を2以上の整数とする。$n$回さいころを投げ、文字列を作るとき、文字列の左から$n-1$番目の文字がAで、かつ$n$番目の文字がBとなる確率を求めよ。

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【考え方】
直接確率を求めるのは難しそうです。そういう場合、「$n$回○○したときの××する確率を求める問題」は、数列の問題に持ち込むのがよさそうです。つまり、$n$の場合と$n+1$の場合からうまく漸化式を作って一般項を求める、という方法を考えてみましょう。

仮に$n$番目の文字がAとなる確率が求められたとしましょう。このとき$n+1$番目の文字がAとなる確率をうまく漸化式でかければOKです。

$n$番目がAではなく、$n+1$番目の文字がAとなる場合は、簡単に計算できます。しかし、$n$番目がAで、$n+1$番目の文字もAとなる場合は、ちょっと面倒なことがわかります。というのも、「$n$番目がAとなるとき」のAが、「AA」の1つ目のAなのか2つ目のAなのかで状況が変わるからです。1つ目のAなら、必ず$n+1$番目はAになります。一方、2つ目のAだった場合は、$n+1$番目は1/2の確率でAになります。

このことから、この問題をめんどくさくしている原因は、「AAの1つ目と2つ目が同じ文字」であることがわかります。なので、ちょっと発想の転換で、無理やり別の文字にしてみましょう。つまり、「AA」を「AA’」と書くことにして、$n$番目がAまたはA’となる確率を求めればそれが(1)の答えになります。この方針で解いてみます。

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試験名: 大学入試, 東大理系, 東京大学
年度: 2015年度
分野: 場合の数と確率, 数列
トピック: 確率, 数列
レベル: ふつう
キーワード: 確率, さいころ, 漸化式
更新日:2016/11/15