東京大学 理系 2006年度後期 第1問 解説

問題編

【問題】
 xy平面上でtを変数とする媒介変数表示
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 2t+t^2 \\
y = t+2t^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}で表される曲線をCとする。
 次の問に答えよ。

(1) $t\ne -1$のとき、$\displaystyle \frac{dy}{dx}$をtの式で表せ。

(2) 曲線C上で\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} \]を満たす点Aの座標を求めよ。

(3) 曲線C上の点$(x,y)$を点$(X,Y)$に移す移動が
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
X = \frac{1}{\sqrt{5}}(2x-y) \\[5pt] Y = \frac{1}{\sqrt{5}}(x+2y)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}で表されているとする。このときYXを用いて表せ。

(4) 曲線Cの概形をxy平面上に描け。

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【考え方】
(1)(2)は基本的な問題です。(3)も代入すればきれいな式になるので難しくはありません。

(4)は(3)の変形が何なのかをまず考える必要があります。概形を描く際、放物線の頂点は出しておいた方がいいですが、実は(2)が使えます。(2)が使えることに気づかなくても計算すれば出せるので、それほど難しくはないでしょう。