なかけんの数学ノート

東京大学 文系 2015年度 第2問 解説

問題編

【問題】
座標平面上の2点A(-1,1), B(1,-1)を考える。また、Pを座標平面上の点とし、そのx座標の絶対値は1以下であるとする。次の条件(i)または(ii)をみたす点Pの範囲を図示し、その面積を求めよ。

(i) 頂点のx座標の絶対値が1以上の2次関数のグラフで、点A, P, Bをすべて通るものがある。
(ii) 点A, P, Bは同一直線上にある。

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【考え方】
(i)について、まずは条件を満たす2次関数があるなら、どういう条件が必要かを考えます。$ax^2+bx+c$が条件を満たすとすると、AとBを通ることから条件が2つ出てきます。このことから、この2次関数は$a$だけの式で書けるようになります。

続いて、「頂点の$x$座標の絶対値が1以上」という条件を考えます。これと点Pを通るという条件から、点Pが満たすべき条件が出てきます。

(ii)は、よく考えると「点Pは線分AB上にある」ということだとわかります。この条件の意味は、(i)を考えていくと最終的にわかるようになっています。

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試験名: 大学入試, 東大文系, 東京大学
年度: 2015年度
分野: 二次関数, 図形と方程式, 微分と積分の基礎
トピック: 二次関数, 軌跡と領域, 積分(文系)
レベル: ややむずい
キーワード: 面積, 二次関数, 範囲を図示, 積分
更新日:2016/11/15