なかけんの数学ノート

東京大学 文系 2015年度 第1問 解説

問題編

【問題】
 以下の命題A、Bそれぞれに対し、その真偽を述べよ。また、真ならば証明を与え、偽ならば反例を与えよ。

 命題A nが正の整数ならば、$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ。

 命題B 整数n,m,lが$5n+5m+3l=1$をみたすならば、$10mn+3ml+3nl \lt 0$が成り立つ。

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【考え方】
命題Aと命題Bは、独立した問題です。

命題Aは、「左辺引く右辺」の最小値を考えてみます。

命題Bは、条件式を使って、文字を3つから2つに減らして考えます。分数が出てこないように$3l$を消すように変形してみると、うまくいきます。

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試験名: 大学入試, 東大文系, 東京大学
年度: 2015年度
分野: 二次関数, 整数の性質, 微分と積分の基礎
トピック: 二次関数, 整数, 微分(文系)
レベル: ややむずい
キーワード: 最大・最小, 整数問題, 反例, 増減表, 微分
更新日:2016/11/15