共通テスト 数学I・数学A 2017年度プレテスト 第1問 [2] 解説

2017年11月に実施された、大学入試共通テスト導入に向けたプレテストの問題です。元の資料をできる限り再現していますが、一部でレイアウトが変わっています。画像は、大学入試センターのサイトから取得しています。

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$以下の問題では、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ に対して、 $\angle \mathrm{ A }$, $\angle \mathrm{ B }$, $\angle \mathrm{ C }$ の大きさをそれぞれ A, B, C で表すものとする。

 ある日、太郎さんと花子さんのクラスでは、数学の授業で先生から次のような宿題が出された。

【宿題】
$\triangle \mathrm{ ABC }$ において $A=60^{\circ}$ であるとする。このとき、\[ X=4\cos^2 B+4\sin^2C-4\sqrt{3}\cos B\sin C \]の値について調べなさい。

 放課後、太郎さんと花子さんは出された宿題について会話をした。二人の会話を読んで、下の問いに答えよ。

太郎: A は $60^\circ$ だけど、 BC もわからないから、方針が立たないよ。

花子:まずは、具体的に一つ例を作って考えてみようよ。もし $B=90^{\circ}$ であるとすると、 $\cos B = \myBox{オ}$, $\sin C = \myBox{カ}$ だね。だから、この場合の X の値を計算すると $1$ になるね。

(1) $\myBox{オ}$, $\myBox{カ}$ に当てはまるものを、次の 0~8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $0$
 1: $1$
 2: $-1$

 3: $\dfrac{1}{2}$
 4: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

 5: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
 6: $-\dfrac{1}{2}$

 7: $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
 8: $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

太郎: $B=13^{\circ}$ にしてみよう。数学の教科書に三角比の表があるから、それを見ると、 $\cos B=0.9744$ で、 $\sin C$ は……あれっ? 表には $0^{\circ}$ から $90^{\circ}$ までの三角比の値しか載っていないから分からないね。

花子: そういうときは、 $\myBox{キ}$ という関係を利用したらいいよ。この関係を使うと、教科書の三角比の表から $\sin C= \myBox{ク}$ だと分かるよ。

太郎: じゃあ、この場合の X の値を電卓を使って計算してみよう。 $\sqrt{3}$ は $1.732$ として計算すると……あれっ? ぴったりにはならなかったけど、小数第4位を四捨五入すると、 X は $1.000$ になったよ! $_{(\mathrm{ a })}$ これで、 $A=60^{\circ}$, $B=13^{\circ}$ のときに $X=1$ になることが証明できたことになるね。さらに、$_{\mathrm{ (b) }}$ 「 $A=60^{\circ}$ ならば $X=1$ 」という命題が真であると証明できたね。

花子:本当にそうなのかな?

(2) $\myBox{キ}$, $\myBox{ク}$ に当てはまる最も適当なものを、次の各解答群のうちから一つずつ選べ。

$\myBox{キ}$ の解答群:
 0: $\sin (90^{\circ} -\theta) = \sin \theta$
 1: $\sin (90^{\circ} -\theta) =-\sin \theta$
 2: $\sin (90^{\circ} -\theta) = \cos \theta$
 3: $\sin (90^{\circ} -\theta) =-\cos \theta$
 4: $\sin (180^{\circ} -\theta)= \sin \theta$
 5: $\sin (180^{\circ} -\theta)=-\sin \theta$
 6: $\sin (180^{\circ} -\theta)= \cos \theta$
 7: $\sin (180^{\circ} -\theta)=-\cos \theta$

$\myBox{ク}$ の解答群:
 0: $-3.2709$
 1: $-0.9563$
 2: $0.9563$
 3: $3.2709$

(3) 太郎さんが言った下線部 (a), (b) について、その正誤の組合せとして正しいものを、次の 0~3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ケ}$

 0: 下線部 (a), (b) ともに正しい。
 1: 下線部 (a) は正しいが、(b) は誤りである。
 2: 下線部 (a) は誤りであるが、(b) は正しい。
 3: 下線部 (a), (b)ともに誤りである。

花子: $A=60^{\circ}$ ならば $X=1$ となるかどうかを、数式を使って考えてみようよ。 $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円の半径を R とするね。すると、 $A=60^{\circ}$ だから、 $\mathrm{ BC }=\sqrt{\myBox{コ}}R$ になるね。

太郎: $\mathrm{ AB } = \myBox{サ}$, $\mathrm{ AC } = \myBox{シ}$ になるよ。

(4) $\myBox{コ}$ に当てはまる数を答えよ。また、 $\myBox{サ}$, $\myBox{シ}$ に当てはまるものを、次の 0~7 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $R\sin B$
 1: $2R\sin B$
 2: $R\cos B$
 3: $2R\cos B$
 4: $R\sin C$
 5: $2R\sin C$
 6: $R\cos C$
 7: $2R\cos C$

花子:まず、B が鋭角の場合を考えてみたよ。

【花子さんのノート】

C から直線 AB に垂線 CH を引くと
 $\mathrm{ AH } = \underline{\mathrm{ AC }\cos 60^{\circ}} _{①}$
 $\mathrm{ BH } = \underline{\mathrm{ BC }\cos B} _{②}$
である。 ABAH, BH を用いて表すと
 $\mathrm{ AB } = \underline{\mathrm{ AH }+\mathrm{ BH }} _{③}$
であるから
\[\underline{\mathrm{ AB } = \myBox{ス}\sin B+\myBox{セ}\cos B} _{④}\] が得られる。

太郎: さっき、 $\mathrm{ AB } =\myBox{サ}$ と求めたから、 ④の式とあわせると、 $X=1$ となることが証明できたよ。

花子: B が直角のときは、すでに $X=1$ となることを計算したね。
$_{(\mathrm{ c })}$ B が鈍角のときは、証明を少し変えれば、やはり $X=1$ であることが示せるね。

(5) $\myBox{ス}$, $\myBox{セ}$ に当てはまるものを、次の 0~8 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 0: $\dfrac{1}{2}R$
 1: $\dfrac{\sqrt{2}}{2}R$

 2: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}R$
 3: $R$
 4: $\sqrt{2}R$
 5: $\sqrt{3}R$

 6: $2R$
 7: $2\sqrt{2}R$
 8: $2\sqrt{3}R$

(6) 下線部 (c) について、 B が鈍角のときには下線部①~③の式のうち修正が必要なものがある。修正が必要な番号についてのみ、修正した式をそれぞれ答えよ。解答は、解答欄 $\myBox{(い)}$ に記述せよ。

花子: 今まではずっと $A=60^{\circ}$ の場合を考えてきたんだけど、 $A=120^{\circ}$ で $B=30^{\circ}$ の場合を考えてみたよ。 $\sin B$ と $\cos C$ の値を求めて、 X の値を計算したら、この場合にも $1$ になったんだよね。

太郎: わっ、本当だ。計算してみたら X の値は $1$ になるね。

(7) $\triangle \mathrm{ ABC }$ について、次の条件 p, q を考える。
\begin{eqnarray}
p&:&\ A=60^{\circ} \\[5pt] q&:&\ 4\cos^2 B+4\sin^2 C -4\sqrt{3}\cos B \sin C =1
\end{eqnarray}

 これまでの太郎さんと花子さんが行った考察をもとに、正しいと判断できるものを、次の 0~3 のうちから一つ選べ。 $\myBox{ソ}$

 0: pq であるための必要十分条件である。
 1: pq であるための必要条件であるが、十分条件でない。
 2: pq であるための十分条件であるが、必要条件でない。
 3: pq であるための必要条件でも十分条件でもない。

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考え方

三角比の内容に、ところどころ命題の内容が混じっている問題です。

文章が長いですが、難しいことはあまりやっていません。ただ、条件が問題によって変わるので、「今考えている問題では、何が仮定されているか」をよく確かめながら考えていきましょう。

センター試験に比べて計算問題はほとんどありません。記述も、図が描ければすぐにわかる内容です。