京都大学 理学部特色入試 2017年度 第4問 解説

問題編

問題

 xy 平面上の格子点とは、その点の x 座標と y 座標がともに整数となる点のことをいう。 n を $2$ 以上の整数とする。 xy 平面上で不等式\[ 0\leqq x\leqq n-1,\quad 0\leqq y,\quad \sqrt{5}y\leqq x \]で表される領域を $D_n$ とする。 $D_n$ に属する格子点の個数を $S_n$ とおく。
 例えば、 $n=5$ のときは、領域 $D_5$ に属する格子点は $(0,0)$, $(1,0)$, $(2,0)$, $(3,0)$, $(4,0)$, $(3,1)$, $(4,1)$ の $7$ 個であるから、 $S_5=7$ となる。また、 $n=9$ のときは、以下の図のように領域 $D_9$ に属する格子点は全部で $21$ 個あるから、 $S_9=21$ である。
kyoto-u-t-2017-4-01

以下の設問に答えよ。

(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n^2} = \frac{\sqrt{5}}{10}$ を示せ。
(2) 以下の条件(H)を満たすような実数 C は存在しないことを示せ。
 (H) すべての自然数 n について、 $\displaystyle \left| S_n-\frac{\sqrt{5}n^2}{10}\right| \lt C$ が成立する。

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考え方

(1)はサービス問題です。ガウス記号をはさみうちで評価すれば、求めることができます。答えも書いてくれているし、かなり親切です。

問題は(2)です。条件を満たす実数がないということは、条件の左辺が無限大に発散するということです。誤差がどんどん積み重なっていく、というのを示していきます。(1)とはぜんぜん違うアプローチで攻めないといけません。