京都大学 理系 2017年度 第4問 解説

問題編

問題

 $\triangle \mathrm{ ABC }$ は鋭角三角形であり、 $\angle \mathrm{ A }=\dfrac{\pi}{3}$ であるとする。また $\triangle \mathrm{ ABC }$ の外接円の半径は $1$ であるとする。
(1) $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内心を P とするとき、 $\angle \mathrm{ BPC }$ を求めよ。
(2) $\triangle \mathrm{ ABC }$ の内接円の半径 r の取りうる値の範囲を求めよ。

【広告】

考え方

(1)は図形の問題として考えます。内心から各辺に垂線をおろし、いくつかの三角形に分割して考えれば求めやすくなります。

(2)も、図形の性質をよく使うと、それほど計算は必要ありません。(1)から P がどういう点なのかがわかるので、それを利用して解きましょう。