京都大学 理系 2014年度 第6問 解説

問題編

問題

 双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の第1象限にある部分と、原点 O を中心とする円の第1象限にある部分を、それぞれ $C_1$, $C_2$ とする。 $C_1$ と $C_2$ は2つの異なる点 A, B で交わり、点 A における $C_1$ の接線 l と線分 OA のなす角は $\dfrac{\pi}{6}$ であるとする。このとき、 $C_1$ と $C_2$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

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考え方

面積を求めるためには、まず円の半径がいくらかを求めなければいけません。いろいろ求め方はありますが、半径を求めること自体はそれほど難しくはないでしょう。点 A の座標も、その過程で求められます。

半径がわかればあとは積分するだけですが、そのまま積分するのは大変です。図形的な性質を使えば、計算を省略することができます。