京都大学 理系 2014年度 第1問 解説

問題編

問題

 座標空間における次の3つの直線 l, m, n を考える。

 l は点 $\mathrm{ A }(1,0,-2)$ を通り、ベクトル $\vec{ u } = (2,1,-1)$ に平行な直線である。
 m は点 $\mathrm{ B }(1,2,-3)$ を通り、ベクトル $\vec{ v } = (1,-1,1)$ に平行な直線である。
 n は点 $\mathrm{ C }(1,-1,0)$ を通り、ベクトル $\vec{ w } = (1,2,1)$ に平行な直線である。

Pl 上の点として、 P から m, n へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q, R とする。このとき、 $\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を最小にするような P と、そのときの $\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を求めよ。

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考え方

P, Q, R と3つの点がありますが、 P を決めると他の2点の座標は決まります。 PQ と直線 m が垂直に交わることを、「内積が0」と言い換えて、条件式を作ります。 PR についても同様です。

$\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を二次関数の式で置き換えれば、あとはこれの最小値を求める問題となります。が、式ができれば最小値はすぐにわかってしまいます。

空間ベクトルだし、見た目はめんどくさそうですが、解いてみるとかなりあっさりしています。逆に、後半があっさりしすぎていて、途中で計算間違いをしているんじゃないか、と不安になってくるレベルです。