京都大学 文系 2014年度 第4問 解説

問題編

問題

 次の式\[ a_1=2, \ a_{n+1} = 2a_n-1 \quad (n=1,,3,\cdots) \]で定められる数列 $\{a_n\}$ を考える。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(2) 次の不等式\[ a_n^2-2a_n \gt 10^{15} \]を満たす最小の自然数 n を求めよ。ただし、 $0.3010 \lt \log_{10} 2 \lt 0.3011$ であることは用いてよい。

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考え方

(1)は、サービス問題です。

(2)もよくある不等式の問題ですが、1が邪魔です。ただ、よく考えれば、1を取り除いても問題ないことがわかります。