京都大学 文系 2014年度 第2問 解説

問題編

問題

 t を実数とする。 $y=x^3-x$ のグラフ C へ点 $\mathrm{ P }(1,t)$ から接線を引く。
(1) 接線がちょうど1本だけ引けるような t の範囲を求めよ。
(2) t が(1)で求めた範囲を動くとき、 $\mathrm{ P }(1,t)$ から C へ引いた接線と C で囲まれた部分の面積を $S(t)$ とする。 $S(t)$ の取りうる値の範囲を求めよ。

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考え方

「通る点」を中心に考えるのではなく、「接点」を中心に考えましょう。「接線が1本だけ」というのは、「接点が1点だけ」と言い換えて考えていきます。この考え方を使った問題は入試ではよく出題されるので、見たことがある人は多いでしょう。

(2)も、接点を中心に考えていきます。接点以外の共有点の座標は、簡単に求められます。接点がどの範囲を動くかに注意して、面積の範囲を求めましょう。