京都大学 文系 2006年度後期 第4問 解説

問題編

【問題】
 nを自然数とし、xy平面の次の領域\[ D_n = \left\{ \frac{x}{n+\frac{1}{2}} \leqq y \leqq [x+1]-x,\quad x\geqq 0 \right\} \]を考える。ただし、記号$[x]$はxより大きくない最大の整数を表すものとする。
このとき$D_n$の面積を求めよ。

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【考え方】
[ ]はガウス記号と言いますが、このガウス記号がついたままだと考えにくいのでこれを外すことをまず考えます。kが整数のとき、$k \leqq x \lt k+1$という範囲で考えれば$[x]=k$となるので、こういう範囲で区切ってから考えます。少し考えれば、三角形の面積を出せばいいことがわかります。

求める面積は、各区間で区切ったものを足し合わせればいいので、最終的には2乗の和などの公式を使って解くことになります。

この年で一番難しい問題です。