センター試験 数学II・数学B 2018年度 第5問 解説

【選択問題】(第3問~第5問から2問選択)

問題編

問題

(注:正規分布表は省略しています)

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて29ページの正規分布表を用いてもよい。

(1) a を正の整数とする。 $2,4,6,\cdots,2a$ の数字がそれぞれ一つずつ書かれた a 枚のカードが箱に入っている。この箱から1枚のカードを無作為に取り出すとき、そこに書かれた数字を表す確率変数を X とする。このとき、 $X=2a$ となる確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。

 $a=5$ とする。 X の平均(期待値)は $\myBox{ウ}$, X の分散は $\myBox{エ}$ である。また、 s, t は定数で $s\gt 0$ のとき、 $sX+t$ の平均が $20$, 分散が $32$ となるように s, t を定めると、 $s=\myBox{オ}$, $t=\myBox{カ}$ である。このとき、 $sX+t$ が $20$ 以上である確率は $0.\myBox{キ}$ である。

(2) (1)の箱のカードの枚数 a は $3$ 以上とする。この箱から3枚のカードを同時に取り出し、それらのカードを横1列に並べる。この試行において、カードの数字が左から小さい順に並んでいる事象を A とする。このとき、事象 A の起こる確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ である。

 この試行を180回繰り返すとき、事象 A が起こる回数を表す確率変数を Y とすると、 Y の平均 m は $\myBox{コサ}$, Y の分散 $\sigma^2$ は $\myBox{シス}$ である。ここで、事象 A が18回以上36回以下起こる確率の近似値を次のように求めよう。

 試行回数180は大きいことから、 Y は近似的に平均 $m=\mybox{コサ}$, 標準偏差 $\sigma=\mybox{シス}$ の正規分布に従うと考えられる。ここで、 $Z=\dfrac{Y-m}{\sigma}$ とおくと、求める確率の近似値は次のようになる。
\begin{eqnarray}
& &
P(18\leqq Y \leqq 36) \\[5pt] &=&
P \left(-\myBox{セ}.\myBox{ソタ} \leqq Z \leqq \myBox{チ}.\myBox{ツテ}\right) \\[5pt] &=&
0.\myBox{トナ}
\end{eqnarray}

(3) ある都市での世論調査において、無作為に400人の有権者を選び、ある政策に対する賛否を調べたところ、320人が賛成であった。この都市の有権者全体のうち、この政策の賛成者の母比率 p に対する信頼度95% の信頼区間を求めたい。

 この調査での賛成者の比率(以下、これを標本比率という)は $0.\myBox{ニ}$ である。標本の大きさが400と大きいので、二項分布の正規分布による近似を用いると、 p に対する信頼度95%の信頼区間は\[ 0.\myBox{ヌネ} \leqq p \leqq 0.\myBox{ノハ} \]である。

 母比率 p に対する信頼区間 $A\leqq p \leqq B$ において、 $B-A$ をこの信頼区間の幅とよぶ。以下、 R を標本比率とし、 p に対する信頼度95%の信頼区間を考える。

 上で求めた信頼区間の幅を $L_1$
 標本の大きさが400の場合に $R=0.6$ が得られらときの信頼区間の幅を $L_2$
 標本の大きさが500の場合に $R=0.8$ が得られらときの信頼区間の幅を $L_3$

とする。このとき、 $L_1,L_2,L_3$ について $\myBox{ヒ}$ が成り立つ。 $\myBox{ヒ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 5 のうちから一つ選べ。

 0: $L_1 \lt L_2 \lt L_3$
 1: $L_1 \lt L_3 \lt L_2$
 2: $L_2 \lt L_1 \lt L_3$
 3: $L_2 \lt L_3 \lt L_1$
 4: $L_3 \lt L_1 \lt L_2$
 5: $L_3 \lt L_2 \lt L_1$

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考え方

(1)では、定数を足したり掛けたりした場合に、平均や分散がどうなるかをしっかり押さえておく必要があります。途中で、数列の和の公式を使ってもいいですが、個数が少ないので直接計算したほうが早いかもしれません。

(2)の後半は、標準正規分布になるように変形する、ということですね。正規分布表を使って最後の確率を求めましょう。直接は求められないので、分けて考えます。

(3)は、母比率の推定です。教科書に載っているレベルです。後半は、信頼区間をどうやって出すかが分かっていれば、式を眺めているだけで答えにたどりつけるはずです。