なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2017年度 第1問 [1] 解説

問題編

問題

 連立方程式
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\cos 2\alpha + \cos 2\beta = \displaystyle \frac{4}{15} & \quad & \cdots ① \\[5pt]
\cos \alpha \cos \beta = \displaystyle -\frac{2\sqrt{15}}{15} & \quad & \cdots ② \\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}を考える。ただし、 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$ であり、 $\alpha \lt \beta$ かつ\[ |\cos \alpha| \geqq |\cos\beta| \quad \cdots ③ \]とする。このとき、 $\cos\alpha$ と $\cos\beta$ の値を求めよう。

 2倍角の公式を用いると、①から\[ \cos^2\alpha+\cos^2\beta = \frac{[アイ]}{[ウエ]} \]が得られる。また、②から、 $\displaystyle \cos^2\alpha \cos^2\beta =\frac{[オ]}{15}$ である。

 したがって、条件③を用いると\[ \cos^2\alpha =\frac{[カ]}{[キ]}, \cos^2\beta =\frac{[ク]}{[ケ]} \]である。よって、②と条件 $0\leqq \alpha \leqq \pi$, $0\leqq \beta \leqq \pi$, $\alpha \lt \beta$ から\[ \cos\alpha=\frac{[コ]\sqrt{[サ]}}{[シ]}, \cos\beta=\frac{[ス]\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \]である。

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考え方

三角関数の公式を使う場面は少ないです、使うのは倍角の公式だけです。

後半は、解と係数の関係を使いますが、少し気づきにくいかもしれません。ただ、 $\cos^2\beta$ へ代入して $\cos^2\alpha$ の二次方程式に持っていくこともできるので、気づかなければ終わり、ということはありません。

最後は、符号に注意して答えましょう。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2017年度
分野: 三角関数
トピック: 三角関数
レベル: ふつう
キーワード: 解と係数の関係, 倍角の公式
更新日:2017/01/17