センター試験 数学II・数学B 2014年度 第4問 解説

【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$座標空間において、立方体 OABC-DEFG の頂点を
 $\mathrm{ O }(0,0,0)$, $\mathrm{ A }(3,0,0)$, $\mathrm{ B }(3,3,0)$, $\mathrm{ C }(0,3,0)$, $\mathrm{ D }(0,0,3)$, $\mathrm{ E }(3,0,3)$, $\mathrm{ F }(3,3,3)$, $\mathrm{ G }(0,3,3)$
とし、 OD を $2:1$ に内分する点を K, OA を $1:2$ に内分する点を L とする。 BF 上の点 M, FG 上の点 N および K, L の4点は同一平面上にあり、四角形 KLMN は平行四辺形であるとする。

(1) 四角形 KLMN の面積を求めよう。ベクトル $\overrightarrow{ \mathrm{ LK } }$ を成分で表すと\[ \overrightarrow{ \mathrm{ LK } }=\left( \myBox{アイ}, \myBox{ウ}, \myBox{エ} \right) \]となり、四角形 KLMN が平行四辺形であることにより、 $\overrightarrow{ \mathrm{ LK } } = \myBox{オ}$ である。 $\myBox{オ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: $\overrightarrow{ \mathrm{ ML } }$, 1: $\overrightarrow{ \mathrm{ LM } }$, 2: $\overrightarrow{ \mathrm{ NM } }$, 3: $\overrightarrow{ \mathrm{ MN } }$

 ここで、 $\mathrm{ M }(3,3,s)$, $\mathrm{ N }(t,3,3)$ と表すと、 $\overrightarrow{ \mathrm{ LK } }=\mybox{オ}$ であるので、 $s=\myBox{カ}$, $t=\myBox{キ}$ となり、 NFG を $1:\myBox{ク}$ に内分することがわかる。
 また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ LK } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ LM } }$ について\[ \overrightarrow{ \mathrm{ LK } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ LM } } = \myBox{ケ},\ \left| \overrightarrow{ \mathrm{ LK } } \right| = \sqrt{\myBox{コ}},\ \left| \overrightarrow{ \mathrm{ LM } } \right| = \sqrt{\myBox{サシ}} \]となるので、四角形 KLMN の面積は $\sqrt{\myBox{スセ}}$ である。

(2) 四角形 KLMN を含む平面を $\alpha$ とし、点 O を通り平面 $\alpha$ と垂直に交わる直線を l, $\alpha$ と l の交点を P とする。 $\left| \overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \right|$ と三角錐 OLMN の体積を求めよう。
 $\mathrm{ P }(p,q,r)$ とおくと、 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$ は $\overrightarrow{ \mathrm{ LK } }$ および $\overrightarrow{ \mathrm{ LM } }$ と垂直であるから、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ LK } } = \overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \cdot \overrightarrow{ \mathrm{ LM } } = \myBox{ソ} \]となるので、 $p=\myBox{タ}r$, $\displaystyle q=\frac{\myBox{チツ}}{\myBox{テ}}r$ であることがわかる。 $\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }$ と $\overrightarrow{ \mathrm{ PL } }$ が垂直であることにより $\displaystyle r=\frac{\myBox{ト}}{\myBox{ナニ}}$ となり、 $\left| \overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \right|$ を求めると\[ \left| \overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \right| = \frac{\myBox{ヌ} \sqrt{ \myBox{ネノ} }}{ \myBox{ハヒ} } \]である。 $\left| \overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \right|$ は三角形 LMN を底面とする三角錐 OLMN の高さであるから、三角錐 OLMN の体積は $\myBox{フ}$ である。

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考え方

空間ベクトルなので、拒否反応が出る人もいるかもしれません。しかし、出てくる図形はきれいだし、計算量は少なめなので、図を描いて考えればそれほど難しくはないでしょう。

(1)は頭の中で考えずに、図を描けば間違いは減るはずです。日頃から、図を正しく描く練習をしましょう。

(2)は垂直を「内積0」に置き換え、成分で考えて解いていきます。最後の体積を求める際、底面積を求めなければいけませんが、(1)の結果を使えばすぐに出せます。