センター試験 数学II・数学B 2014年度 第3問 解説

【選択問題】(第3問~第6問から2問選択)

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$数列 $\{a_n\}$ の初項は $6$ であり、 $\{a_n\}$ の階差数列は初項が $9$, 公差が $4$ の等差数列である。

(1) $a_2=\myBox{アイ}$, $a_3=\myBox{ウエ}$ である。数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよう。 $\{a_n\}$ の階差数列の第 n 項が $\myBox{オ} n +\myBox{カ}$ であるから、数列 $\{a_n\}$ の一般項は\[ a_n = \myBox{キ}\ n^{\bbox[1px, border:2px solid]{ク}} +\myBox{ケ}n+\myBox{コ} \quad \cdots ① \]である。

(2) 数列 $\{b_n\}$ は、初項が $\displaystyle \frac{2}{5}$ で、漸化式\[ b_{n+1} = \frac{a_n}{a_{n+1}-1}b_n \quad (n=1,2,3,\cdots) \quad \cdots ② \]を満たすとする。 $\displaystyle b_2=\frac{\myBox{サ}}{\myBox{シス}}$ である。数列 $\{b_n\}$ の一般項と初項から第 n 項までの和 $S_n$ を求めよう。

 ①, ②により、すべての自然数 n に対して\[ b_{n+1} = \frac{\myBox{セ}n+\myBox{ソ}}{\mybox{セ}n+\myBox{タ}}b_n \quad \cdots ③ \]が成り立つことがわかる。
ここで\[ c_n = \left( \mybox{セ}n+\mybox{ソ} \right) b_n \quad \cdots ④ \]とするとき、③を $c_n$ と $c_{n+1}$ を用いて変形すると、すべての自然数 n に対して\[ \left(\mybox{セ}n+\myBox{チ}\right) c_{n+1} = \left(\mybox{セ}n+\myBox{ツ}\right) c_n \]が成り立つことがわかる。これにより\[ d_n= \left(\mybox{セ}n+\myBox{テ}\right) c_n \quad \cdots ⑤ \]とおくと、すべての自然数 n に対して、 $d_{n+1}=d_n$ が成り立つことがわかる。 $d_1=\myBox{ト}$ であるから、すべての自然数 n に対して、 $d_n=\mybox{ト}$ である。したがって、④と⑤により、数列 $\{b_n\}$ の一般項は\[ b_n = \frac{\mybox{ト}}{\left(\mybox{セ}n+\mybox{ソ}\right) \left(\mybox{セ}n+\mybox{テ}\right)} \]である。また\[ b_n = \frac{\myBox{ナ}}{\mybox{セ}n+\mybox{ソ}} -\frac{\myBox{ニ}}{\mybox{セ}n+\mybox{テ}} \]が成り立つことを利用すると、数列 $\{b_n\}$ の初項から第 n 項までの和 $S_n$ は\[ S_n=\frac{\myBox{ヌ}n}{\myBox{ネ}n+\myBox{ノ}} \]であることがわかる。

考え方

苦手な人が多い「階差数列」からのスタートで、いきなりとっつきにくい感じです。(1)からわりと計算があります。計算があっているかどうか、 $n=1,2,3$ などを入れて確認しましょう。ここが間違っていると、後の問題が解けません。

(2)は、たくさん数列が出てくるので、何を計算しているかわかりづらいです。ただ、計算量はそんなに多くないので、言われた通りに式変形をしていきます。最終的に「部分分数の差に分けて、数列の和を求める」という解き方に持っていくのですが、よく練習していないと誘導の意味はわかりにくいかもしれません。