なかけんの数学ノート

センター試験 数学II・数学B 2014年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$O を原点とする座標平面において、点 $\mathrm{ P }(p,q)$ を中心とする円 C が、方程式 $\displaystyle y=\frac{4}{3}x$ で表される直線 l に接しているとする。

(1) 円 C の半径 r を求めよう。
 点 P を通り直線 l に垂直な直線の方程式は\[ y=-\frac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}(x-p)+q \]なので、 P から l に引いた垂線と l との交点 Q の座標は\[ \left( \frac{3}{25} \left(\ \myBox{ウ}p+\myBox{エ}q \ \right), \ \frac{4}{25} \left(\ \mybox{ウ}p+\mybox{エ}q \ \right) \right) \]となる。
 求める C の半径 r は、 Pl の距離 PQ に等しいので\[ r=\frac{1}{5} \left| \ \myBox{オ}p-\myBox{カ}q \ \right| \ \cdots ① \]である。

(2) 円 C が、 x 軸に接し、点 $\mathrm{ R }(2,2)$ を通る場合を考える。このとき、 $p\gt 0$, $q\gt 0$ である。 C の方程式を求めよう。
 Cx 軸に接するので、 C の半径 rq に等しい、したがって、①により、 $p=\myBox{キ}q$ である。
 C は点 R を通るので、求める C の方程式は\[ \left( x-\myBox{ク} \right)^2+\left( y-\myBox{ケ} \right)^2=\myBox{コ} \ \cdots ② \]または\[ \left( x-\myBox{サ} \right)^2+\left( y-\myBox{シ} \right)^2=\myBox{ス} \ \cdots ③ \]であることがわかる。ただし、 $\mybox{コ}\lt\mybox{ス}$ とする。

(3) 方程式②の表す円の中心を S 、方程式③の表す円の中心を Tとおくと、直線 ST は原点 O を通り、点 O は線分 ST を $\myBox{セ}$ する。 $\myBox{セ}$ に当てはまるものを、次の0~5のうちから一つ選べ。

 0: $1:1$ に内分
 1: $1:2$ に内分
 2: $2:1$ に内分
 3: $1:1$ に外分
 4: $1:2$ に外分
 5: $2:1$ に外分

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考え方

わかりにくい誘導も少なく、計算が難しい個所も少ないため、解きやすいと思います。

円と直線が接するときに、円と直線の距離が円の半径と一致する、という考え方はいろんな場面でよく使います。

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試験名: 大学入試, センター試験, センターIIB
年度: 2014年度
分野: 図形と方程式
トピック: 図形の方程式
レベル: やややさし
キーワード: 内分点, 点と直線の距離の公式, 円の方程式
更新日:2017/01/21