なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第4問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$A, B, C の3人がいる。また、「A」と書かれた玉が3個、「B」と書かれた玉が2個、「C」と書かれた玉が1個ある。「A」と書かれた玉の持ち主はAで、「B」と書かれた玉の持ち主はB、「C」と書かれた玉の持ち主はCである。

(1) 全部の玉を一つの袋に入れておき、袋から1個の玉を取り出して、出た玉の持ち主を勝者とするゲームを考える。ゲームが1回終わるごとに、出た玉を袋に戻す。

(i) ゲームを4回行うとき、勝者が順に A, A, B, C となる確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ア}}{\myBox{イウ}}$ である。

(ii) ゲームを4回行うとき、 B が2回以上勝つ確率は $\displaystyle \frac{\myBox{エオ}}{\myBox{カキ}}$ である。

(iii) ゲームを6回行うとき、A が3回、B が2回、C が1回勝つ確率は $\displaystyle \frac{\myBox{ク}}{\myBox{ケコ}}$ である。

(2) こんどは、 A, B, C のうち2人の対戦を考える。2人の対戦では、対戦者2人が持つ玉だけを全部合わせて一つの袋に入れ、袋から1個の玉を取り出して、出た玉の持ち主を勝者とする。1回対戦が終わるごとに、すべての玉を持ち主に返す。
 優勝賞金を60万円用意して、A と B 、 A と C 、 B と C が1回ずつ対戦する「総当り戦」を行い、勝った回数が最も多い人が優勝賞金を受け取る。該当者が複数いる場合は、該当者の間で等分する。

(i) A, B, C が20万円ずつ受け取る確率は $\displaystyle \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$ である。

(ii) A が20万円以上受け取る確率は $\displaystyle \frac{\myBox{スセ}}{\myBox{ソタ}}$ である。

(iii) A が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{チツ}$ 万円、 B が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{テト}$ 万円、 C が受け取る優勝賞金の期待値は $\myBox{ナ}$ 万円である。

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考え方

(1)と(2)は状況が全然違うので、(1)の答えを(2)で使う、ということはありません。

(1)の(ii)は余事象を考えたほうがいいでしょう。

(2)は、3試合した結果、それぞれの人が勝った回数は「2,1,0」か「1,1,1」の場合しかありません。つまり、優勝賞金は60万円か20万円の場合しかありません。よって、(ii)は(i)の答えに、60万円を受け取る確率を足せばいいことがわかります。(iii)は、2人の期待値が分かれば、残り1人の期待値は60万円から引いて出すことができます。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2014年度
分野: 場合の数と確率
トピック: 確率
レベル: ふつう
キーワード: 期待値, 球を取り出す, 確率
更新日:2017/01/30