なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$a, b, c を定数とし、 $a\gt 0$ とする。 x の2次関数\[ y=ax^2+bx+c \quad \cdots ① \]は、 $x=-1$ のとき $y=4$, $x=2$ のとき $y=7$ であるとする。
b, ca で表すと\[ b=\myBox{ア}a+\myBox{イ}, \ c=\myBox{ウエ}a+\myBox{オ} \]である。①のグラフの頂点の座標を $(p,q)$ とすると
\begin{eqnarray}
p &=& \frac{ a-\myBox{カ} }{ \myBox{キ}a } \\[5pt]
q &=& \frac{ \myBox{クケ}a^2 +\myBox{コサ}a-\myBox{シ} }{ \myBox{ス}a } \\[5pt]
\end{eqnarray}である。

(1) $a=2$ のとき、①のグラフを x 軸方向に $\displaystyle \frac{\myBox{セソ}}{\myBox{タ}}$, y 軸方向に $\displaystyle \frac{\myBox{チツ}}{\myBox{テ}}$ だけ平行移動すると、 $y=2x^2$ のグラフに一致する。

(2) ①のグラフが y 軸に関して対称になるとき、頂点の y 座標は $\myBox{ト}$ である。

(3) 関数①の最小値が $0$ であるとすると\[ a=\frac{\myBox{ナニ}\pm\myBox{ヌ}\sqrt{\myBox{ネ}}}{\myBox{ノ}} \]である。

(4) $1\leqq x \leqq 2$ における関数①の最小値が $0$ であるとすると\[ a=\myBox{ハ} \]である。

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考え方

前半に重たい計算があり、結構大変です。平方完成をしてから b, c の値を入れるのか、値を入れてから平方完成するのか、2パターンありますが、どちらにしても計算は大変です。しかも、ここがきちんと計算できないと後の問題で困るので、間違いがないか慎重に解いていきましょう。

(1)(2)(3)は、与えられた条件をどう言い換えるかがポイントです。(1)は頂点に着目しましょう。(2)も頂点がどうなっていたらいいかを考えます。(3)も頂点の条件に言い換えましょう。

(4)は x がいつのときに最小値をとるかを求めるのが難しいです。頂点に文字が入っているので、普通なら「頂点が区間より左」「頂点が区間内」「頂点が区間より右」という場合分けが必要です。しかし、この問題では1つの場合しかないため、場合分けは不要です。状況を把握するのが少し難しいかもしれません。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2014年度
分野: 二次関数
トピック: 二次関数
レベル: ややむずい
キーワード: 二次方程式の解の公式, 二次関数, 最大・最小
更新日:2017/01/28