なかけんの数学ノート

センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第1問 [2] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ }}\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ }}$実数 a, b に関する条件 p, q を次のように定める。
\begin{eqnarray}
p &:& |a+b| = |a|+b \\
q &:& ab^2\geqq 0
\end{eqnarray}

(1) 次の 0 ~ 4 のうち、 q の否定 $\bar{q}$ と同値である条件は $\myBox{サ}$ である。
 $\mybox{サ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つ選べ。

 0: $a\lt 0$
 1: $a\lt 0$ かつ $b\lt 0$
 2: $a\lt 0$ または $b\lt 0$
 3: $a\lt 0$ かつ $b\ne 0$
 4: $a\lt 0$ または $b\ne 0$

(2) 下の $\mybox{シ}$, $\mybox{ス}$, $\mybox{セ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 4 のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 0: $\gt$  1: $\geqq$  2: $=$  3: $\leqq$  4: $\lt$

(i) p を満たす a, b について、 $a+b\geqq 0$ ならば $a\myBox{シ}0$ である。
(ii) p を満たす a, b について、 $a\geqq 0$ ならば $a+b\myBox{ス}0$ である。
(iii) $a+b\lt 0$ を満たす a, b について、 $b\myBox{セ}0$であることと p を満たすことは同値である。

(3) pq であるための $\myBox{ソ}$ 。
 $\mybox{ソ}$ に当てはまるものを、次の 0 ~ 3 のうちから一つ選べ。

 0: 必要十分条件である
 1: 十分条件であるが、必要条件ではない
 2: 必要条件であるが、十分条件ではない
 3: 必要条件でも十分条件でもない

考え方

与えられた条件式が少し考えにくい形をしています。絶対値がある場合は、中身の符号に応じてわけて考えるのが鉄則ですが、この問題では条件が多くなって考えづらくなっています。どれが前提でどれが結論かをきちんと整理して考えないと間違ってしまいます。

(3)は、反例がパッと出てこないかもしれません。(1)(2)でわかったことを利用すれば示せるかもしれませんが、なかなかハードルは高いです。 p が成り立たないようにするには、右辺をマイナスにすればいい、という発想になれば思いつきやすくなります。

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試験名: 大学入試, センターIA, センター試験
年度: 2014年度
分野: 数と式, 集合と命題
トピック: 実数, 集合と命題
レベル: ややむずい
キーワード: 必要条件・十分条件
更新日:2017/01/27