【標準】データの分散

🕒 2016/11/14 🔄 2023/05/01

【基本】データの分散では、データの散らばりを表す指標である「分散」の紹介をしました。ここでは、分散のもう一つの求め方を紹介します。

📘 目次

分散に関する復習

データの値が、 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ のとき、平均値 $\bar{x}$ は次のように計算できるんでしたね（参考：【基本】データの平均値）。\[ \bar{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \]そして、この $\bar{x}$ を使って、分散は次のように計算できるのでした（【基本】データの分散）。\[ \frac{1}{n}\left\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\right\} \]これが定義通りの計算です。

分散のもう一つの求め方

ただ、実際に計算する場合、偏差（平均値との差）が小数や分数になることもあり、そうなると計算が面倒になりやすいです。例として、【基本】データの分散のグループＣの計算をもう一度見てみましょう。データの値は次のようになっていました。
　Ｃ：1,3,5,5,5,6,6,7,7,10
この平均値は $5.5$ なので、分散を定義通り計算すると\[ \frac{4.5^2+2.5^2+0.5^2+0.5^2+0.5^2+0.5^2+0.5^2+1.5^2+1.5^2+4.5^2}{10} = 5.25 \]となります。小数が10個も出てくるので、少し面倒に感じるかもしれません。

そこで、元の定義式を次のように変形してみます。
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{n}\left\{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2\right\} \\[5pt] &=& \frac{1}{n}\left\{(x_1^2-2x_1\bar{x}+\bar{x}^2)+(x_2^2-2x_2\bar{x}+\bar{x}^2)+\cdots +(x_n^2-2x_n\bar{x}+\bar{x}^2)\right\} \\[5pt] &=& \frac{1}{n}\left\{(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) -2\bar{x}(x_1+x_2+\cdots+x_n)+n\bar{x}^2\right\} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、平均値の定義を見ると、\[ x_1+x_2+\cdots+x_n=n\bar{x} \]となることがわかるので、上の式は次と等しくなります。 \begin{eqnarray} & & \frac{1}{n}\left\{(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) -2\bar{x}\cdot n\bar{x}+n\bar{x}^2\right\} \\[5pt] &=& \frac{1}{n}\left\{(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) -n\bar{x}^2\right\} \\[5pt] &=& \frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2) -\bar{x}^2 \\[5pt] \end{eqnarray}式の前半部分は、値を2乗して足して個数で割ったものです。なので、この式全体を言葉で説明すると、「2乗の平均値引く平均値の2乗」となります。

例

上で求めた式を試してみましょう。

先ほどみた例をもう一度計算しなおしてみます。データの値は次のようになっていました。
　Ｃ：1,3,5,5,5,6,6,7,7,10
この「2乗の平均値」を求めてみると、次のようになります。\[ \frac{1^2+3^2+5^2+5^2+5^2+6^2+6^2+7^2+7^2+10^2}{10}=35.5 \]平均値が $5.5$ なので、分散は\[ 35.5-5.5^2=5.25 \]と計算できます。定義通りに計算したものと合っていますね。

平均値がきれいな数字ならよさがわかりにくいです。しかし、小数や分数になる場合には、ここで紹介したやり方のほうが計算が楽になることが多いです。