【標準】連立不等式と領域

🕒 2017/09/18 🔄 2023/05/01

ここでは、2つの式の積が正になる領域、負になる領域を求める問題を見ていきます。見た目は連立不等式ではありませんが、問題を解いている途中で出てきます。

📘 目次

2つの積が正になる領域

例題

次の不等式が表す領域を図示しなさい。\[ (x+y)(2x-y+4) \gt 0 \]

$(x+y)$ と $(2x-y+4)$ という2つの式の積が正となる領域ですね。「掛けて正」ということは、「両方正」か「両方負」のどちらかしかありません。このどちらかであればいいので、それぞれの領域をくっつけたものが、求める領域となります。

では、まず、両方正の場合を考えてみましょう。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y \gt 0 \\ 2x-y+4 \gt 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}の場合ですね。これを変形すると、 \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y \gt -x \\ y \lt 2x+4 \end{array} \right. \end{eqnarray}となります。【基本】連立不等式と領域のときと同じように考えると、この連立不等式が表す領域は、次のようになります。この場合は、2つの領域を同時に満たす部分（重なっている部分）が対象です。

なお、不等号に等号が含まれていないので、境界線上の点は含みません。

次に、両方が負になる場合を考えましょう。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x+y \lt 0 \\ 2x-y+4 \lt 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}の場合ですね。これも同様に変形して \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} y \lt -x \\ y \gt 2x+4 \end{array} \right. \end{eqnarray}となります。このように変形してもいいのですが、「両方正」の場合と比べると、不等号の向きが変わっているだけなので、先ほど考えていた領域の上下を反転させるだけでも大丈夫です（実際、変形後の表す領域と一致しています）。