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【標準】平行四辺形と座標

🕒 2017/07/19 🔄 2023/05/01

ここでは、平行四辺形のうち3つの頂点の座標がわかっているときに、残りの頂点の座標を求める問題を考えます。

📘 目次

平行四辺形の残りの頂点の座標

例題1

3点 $\mathrm{A}(1,3)$, $\mathrm{B}(2,1)$, $\mathrm{C}(3,2)$ を頂点とする平行四辺形 ABCD を作るとき、残りの頂点 D の座標を求めなさい。

図をかいて考えてみましょう。

求める D は上の図のような場所にあることがわかります。

平行四辺形はいろいろな性質があるので、座標を求めるときにもいろいろ使えそうです。ここでは、2種類の方法で考えてみましょう。

まずは、 AD と BC が等しくて平行であることを使って考えてみましょう。このことから、 A から、 BC と同じ向きに同じだけ移動すれば、 D に到達することがわかります。よって、 $\mathrm{ D }(x,y)$ とすると
\begin{eqnarray} x &=& 1+(3-2) \\ &=& 2 \\[5pt] y &=& 3+(2-1) \\ &=& 4 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められるので、 D の座標は $(2,4)$ であることがわかります。

また、他の出し方として、対角線の交点に着目する方法もあります。平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わります。なので、 AC と　BD の中点が等しいことから
\begin{eqnarray} \frac{1+3}{2}=\frac{2+x}{2}, \quad \frac{3+2}{2}=\frac{1+y}{2} \end{eqnarray}が成り立つことがわかります。これらを解けば、\[ x=2, y=4 \]が得られるので、 D の座標は $(2,4)$ であることがわかります。

どちらで解くこともできます。ちなみに、1つ目の方法は、別のところで学ぶ、ベクトルの考え方に近いです。

平行四辺形の残りの頂点の座標その２

例題2

3点 $\mathrm{A}(1,3)$, $\mathrm{B}(2,1)$, $\mathrm{C}(3,2)$ を頂点とする平行四辺形を作るとき、残りの頂点 D の座標を求めなさい。

先ほどと問題文が似ていますが、どこが違うかわかるでしょうか。

まず、先ほどの問題文では「平行四辺形 ABCD を作る」となっていた部分が、この例題では「平行四辺形を作る」となっています。この違いで、何が変わってくるでしょうか。

この問題文の違いで、平行四辺形の頂点の順番が違ってきます。先ほどの問題文では、平行四辺形の頂点の順番が A, B, C, D と指定されていましたが、今回は指定されていません。そのため、 A, D, B, C などという順番もありえるんですね。

同じ名前だと区別がつきにくいので、 $\mathrm{ D }'$ という名前を付けてみました。この順番でも平行四辺形は作れますね。先ほどと同じように計算すれば、この点の座標は $(0,2)$ だとわかります。この点も、この例題の答えに含まれます。

他に平行四辺形は作れないでしょうか。1つ目の例題では、 A, C の間に D がある場合を考えました。先ほどは、 A, B の間にある場合を考えました。こう考えると、もう1つありますね。 B, C の間に D がある場合です。

これもやはり平行四辺形となります。この点の座標も先ほどと同様に計算して $(4,0)$ と求めることができます。