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【標準】円形に並べる（円順列）

🕒 2017/01/31 🔄 2023/05/01

ここでは、円形に並べる方法について考えます。「回転して同じになるものをどう扱うか」が問題となります。

📘 目次

円形に並べる

例題

A, B, C, D, E の5人全員が輪になって円の形に並ぶとき、並び方は何通りあるか。

一列に並ぶ場合は ${}_5 \mathrm{ P }_5=120$ 通りですが、円形だとこれがどう変わるのでしょうか。何が違ってくるのでしょう。

例えば、「A-B-C-D-E」の順に一列に並んでいる状態から、時計回りに、A と E が隣に来るように並びなおしたとしましょう。

   A
 ／ ＼
E     B
|     |
D --- C

少々図が不格好ですが、円形に並んでいると考えてください。今、A と E が隣に来るように並べましたが、別のつなぎ方でも同じ結果になりますよね。例えば、「B-C-D-E-A」と並んでいる状態で、B と A をくっつけると、次のようになります。

   B 
 ／ ＼
A     C
|     |
E --- D

1つ目の円形の並び方と2つ目の円形の並び方。この2つは違うように見えますが、グルグルと回転させれば同じです。数学の問題では、「円形に並ぶ」といった場合、「クルクルと回転させて同じ並びになるものは、同一視する（区別しない）」という前提で考えます

そうすると、今のように一列に並んでから円形に並びなおした場合、「違うように見えて実は同じ並び方」が含まれていることになります。これらを除外しないといけません。1つ目と2つ目を見て想像できるかもしれませんが、次の5つは、円形に並んだときに同じものになってしまいます。

「A-B-C-D-E」と一列に並んでいる状態から、A と E が隣り合うように、時計回りに並ぶ
「B-C-D-E-A」と一列に並んでいる状態から、B と A が隣り合うように、時計回りに並ぶ
「C-D-E-A-B」と一列に並んでいる状態から、C と B が隣り合うように、時計回りに並ぶ
「D-E-A-B-C」と一列に並んでいる状態から、D と C が隣り合うように、時計回りに並ぶ
「E-A-B-C-D」と一列に並んでいる状態から、E と D が隣り合うように、時計回りに並ぶ

他の並び方についても同様で、5つの並び方から同じ円形の並び方が1つできるので、「5人を一列に並べる方法」の総数を5で割ったものが、答えになります。つまり、\[ {}_5 \mathrm{ P }_5 \div 5 = 24 \]通りが答えになります。

実は、 n 個の異なるものを円形に並べるときの総数も、同じ考え方で求めることができます。上と同じように、 n 個の異なるものを一列に並べてから、円形に並べることを考えましょう。

このとき、先頭のいくつかをまとめて後ろに並べなおしてから円形に並べても、同じ円形の並び方が出来上がります。上の5人を並べる場合を見てみてください。先頭の数人を後ろに並べなおしたものから、同じ並び方ができていましたよね。

後ろに移動させる方法は、 $0$ 個移動から $(n-1)$ 個移動までありえるので、「一列に並べてから、円形に並べる」という考え方では、それぞれ同じ円形の並び方を n 回数えることになります。よって\[ {}_n \mathrm{ P }_n \div n = (n-1)! \]通り、となります。

このように、円形に並べる配列を、円順列(cyclic permutation)といいます。ここまでのことをまとめます。

円順列

n 個の異なるものを円形に並べる方法の総数は、\[ {}_n \mathrm{ P }_n \div n = (n-1)! \]通りである。