【標準】導関数のいろいろな表し方

🕒 2017/10/14 🔄 2023/05/01

ここでは、導関数のいろいろな表し方を紹介していきます。

📘 目次

xとyだけで導関数を表す方法

$f(x)$ の導関数は、【基本】導関数で見たように、\[ \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]で定義され、 $f'(x)$ と表すのでした。この「 $'$ 」をつける、というのがよくある方法です。

ただ、関数は、次のように $f(x)$ を使わない形で表現されていることもあります。\[ y=x^2+x+1 \]このような場合で導関数を考えるとき、わざわざ $f(x)=x^2+x+1$ とおいて、 $f'(x)$ と書くのは面倒です。そのため、 $f'(x)$ と同じ記号を使って、 $y'$ で表します。この $y'$ が意味するものは、上の式と同様で、「 y の変化量を x の変化量で割り、 x の変化量を限りなく $0$ に近づけて得られるもの」ということです。今の場合であれば、\[ y'=2x+1 \]となります。

このような、 x の変化量、 y の変化量を、それぞれ $\Delta x$, $\Delta y$ で表すことがあります。この三角の記号は「デルタ」といって、ギリシャ文字の1つです。 $\Delta x$ は、 $\Delta \times x$ のことではなくて、まとめて1つのもの（x の変化量）を表します。

この記号を使って、上の式と同じように導関数の定義式をかくと、次のようになります。\[ y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]$\Delta x$, $\Delta y$ 、それぞれが1かたまりなので、 $\Delta$ で約分する、というようなことはしないので注意しましょう。

また、 $\Delta y$ は、 $\Delta x$ によって決まることにも注意しましょう。独立に決まるものではありません。例えば、 $y=f(x)$ とおくと、 x が a から b に変化したときを考えるなら、 $\Delta y=f(b)-f(a)$ です。 x の動きと別に決まるわけではありません。

複数の文字があった場合の導関数の表し方

当面は出てこないですが、複数の文字が含まれている場合に、導関数を考えたいこともあります。例えば、\[ y=x^2+tx \]のような場合です。このときに、 $y'$ と書いても、 x と y について考えているのか、 t と y について考えているのか、わからないですね。

このようなときのために、「何を何で微分しているか」がわかる形の表し方もあります。例えば、 y を x で微分している場合（ y の変化量を x の変化量で割り、 x の変化量を限りなく $0$ に近づけて得られるもの）には、次のように表します。\[ \frac{dy}{dx} \]これは、先ほど見た\[ y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \]の右辺を参考にした表現方法です。これは分数の形をしていますが、「 y を x で微分したもの」という記号を表しており、分数とは違うもの、という扱いをします。読み方も「ディーエックス分のディーワイ」ではなく、「ディーワイディーエックス」と読むことが多いです。

また、先ほど「 $\Delta x$ は、 $\Delta \times x$ のことではない」と書きましたが、この導関数の表現でも同じで、 $dx$ は $d\times x$ のことではありません。そのため、 $d$ で約分する、ということはありません。

微分の成り立ちから考えると、分数に似た形で表現することは不自然ではありません。しかし、微分は、「 $dy$ を $dx$ で割る」という求め方ではありません。それぞれの変化量は独立に決まるものではありません。また、途中で、極限をとる操作も入ります。そのため、厳密には「分数ではない」というように考えます。少しややこしいですね。

例えば、 $y=x^2+tx$ のときは、\[ \frac{dy}{dx}=2x+t \]となります。 x で微分するときは、 t は定数と同じだ、と考えます。 $x^2$ の導関数が $2x$ で、 $x$ の導関数が $1$ なので、上のように計算できます。また、\[ \frac{dy}{dt}=x \]となります。 t で微分するときは、 x を定数と思って微分することになります。

この書き方にならって、 $f(x)$ の導関数も、 $\dfrac{df}{dx}$ や $\dfrac{d}{dx}f(x)$ などと書くことがあります。

「 $'$ 」と書くよりも少し面倒ですが、このように書けば、何を何で微分しているかが明確にわかります。