【応用】36度の三角比

🕒 2016/09/22 🔄 2023/05/01

【応用】15度の三角比では、特別な図を用いて15度の三角比を考えました。ここでは、別の特別な図を用いて、36度の三角比を考えてみたいと思います。

📘 目次

36度の三角比

正五角形とその対角線を使って、次のような図を考えてみます。

この一部を使って、36度の三角比を考えていきましょう。

次のように、 $\mathrm{ AB }=\mathrm{ AC }$ の二等辺三角形 ABC をかきます。 $\angle \mathrm{ A }=36^{\circ}$ で、 $\mathrm{ BC }=1$ とします。今、 $\mathrm{ AB }=x$ とおいて、これを求めてみましょう。これがわかると、36度の三角比も求められるようになります。

ここで、線分 AC 上に、 $\angle \mathrm{ BDC }=72^{\circ}$ となる点 D をとります。すると、 $\triangle \mathrm{ ABD }$ も $\triangle \mathrm{ BCD }$ も二等辺三角形になることが分かります。

さらに、 $\triangle \mathrm{ ABC }$ と $\triangle \mathrm{ BCD }$ が相似になっていることもわかります。よって、\[ \mathrm{ AB }:\mathrm{ BC } = \mathrm{ BC }:\mathrm{ CD } \]がわかります。\[ \mathrm{ BC }=\mathrm{ BD }=\mathrm{ AD } \]であることから、 $\mathrm{ CD }=x-1$ となることがわかります。よって、上の相似の式から、次の関係式が導かれます。
\begin{eqnarray} x:1 &=& 1:(x-1) \\ x(x-1) &=& 1 \\ x^2-x-1 &=& 0 \\ x&=&\frac{1\pm\sqrt{1^2+4} }{2} \end{eqnarray}$x\gt 0$ なので、\[ x=\frac{1+\sqrt{5} }{2} \]となります。

D から AB に垂線を下ろし、 ABと交わった点を E とします。

$\displaystyle \mathrm{ AE }=\frac{1+\sqrt{5} }{4}$ なので、\[ \cos 36^{\circ} = \frac{\mathrm{ AE } }{\mathrm{ AD } } = \frac{1+\sqrt{5} }{4}\]と計算できます。

他の値は、二重根号が出てきてしまいますが、次のように計算できます。
\begin{eqnarray} \sin 36^{\circ} &=& \frac{\mathrm{ DE } }{\mathrm{ AD } } \\ &=& \mathrm{ DE } \\ &=& \sqrt{ 1^2-\left(\frac{1+\sqrt{5} }{4}\right)^2 } \\ &=& \sqrt{ \frac{16-(1+2\sqrt{5}+5)}{16} } \\ &=& \sqrt{ \frac{10-2\sqrt{5} }{16} } \\ &=& \frac{ \sqrt{10-2\sqrt{5} } }{4} \\ \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \tan 36^{\circ} &=& \frac{ \sqrt{10-2\sqrt{5} } }{4} \div \frac{1+\sqrt{5} }{4} \\[5pt] &=& \frac{ \sqrt{10-2\sqrt{5} } \times (-1+\sqrt{5}) }{ (1+\sqrt{5})(-1+\sqrt{5}) } \\[5pt] &=& \frac{ \sqrt{ (10-2\sqrt{5})(-1+\sqrt{5})^2 } }{ 4 } \\[5pt] &=& \frac{ \sqrt{ (10-2\sqrt{5})(6-2\sqrt{5}) } }{ 4 } \\[5pt] &=& \frac{ \sqrt{ 80 -32\sqrt{5} } }{ 4 } \\[5pt] &=& \sqrt{ 5 -2\sqrt{5} } \\ \end{eqnarray}となります。途中で有理化をするときに、分子のルートの中に入れることを見越して、正の数である $-1+\sqrt{5}$ を分母分子に掛けています。なお、これらの二重根号をきれいに外すことはできません。

54度の三角比

余角の公式を使えば、\[ \sin 54^{\circ} = \frac{1+\sqrt{5} }{4}, \ \cos 54^{\circ} = \frac{ \sqrt{10-2\sqrt{5} } }{4} \]が得られます。

また、 $\tan$ は次のようになります。
\begin{eqnarray} \tan 54^{\circ} &=& \frac{1}{\tan 36^{\circ} } \\[5pt] &=& \frac{1}{\sqrt{ 5 -2\sqrt{5} } } \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{ 5 +2\sqrt{5} } }{\sqrt{ 5 -2\sqrt{5} }\sqrt{ 5 +2\sqrt{5} } } \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{ 5 +2\sqrt{5} } }{\sqrt{ 5^2 -(2\sqrt{5})^2 } } \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{ 5 +2\sqrt{5} } }{\sqrt{ 5 } } \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{ 25 +10\sqrt{5} } }{5 } \\ \end{eqnarray}となります。