【応用】実数条件と領域

🕒 2017/09/25 🔄 2023/05/01

ここでは、領域を求めるときに、実数条件を考える問題を見ていきます。

📘 目次

実数条件と領域

例題1

u, v がすべての実数値をとるように動くとする。 $x=u+v$, $y=uv$ とするとき、点 $(x,y)$ の動く領域を求めなさい。

u, v が実数なのだから、 x, y も実数です。しかし、すべての実数をとるとは限りません。【応用】通過領域（存在条件）で見たように、対応する u, v があるかどうかを考えなくてはいけません。

例えば、 $x=0,y=1$ とすると、これに対応する u, v はどうなるでしょうか。和が $0$ なので、 $v=-u$ となります。よって、 $y=uv=-u^2$ となります。これが $1$ になることはありません。つまり、対応する実数 $(u, v)$ の組合せがない、ということです。なので、こうした点は除かなくてはいけません。

さて、問題は、どのようにして「対応する実数 u, v が存在する」条件を考えるか、です。

「実数が存在する」という条件は今まであまり出てきたことがありませんが、似たものとして、「実数解が存在する条件」は出てきました。二次方程式の判別式が0以上、という条件ですね。しかし、二次方程式は今ありません。

ただ、よく見ると、 x は和、 y は積となっていますね。この形と「二次方程式」というワードから、【基本】二次方程式の解と係数の関係との関連を考えてみましょう。

ある二次方程式の解が $u,v$ だったとしましょう。二次の項の係数が $1$ だとすると、一次の項の係数は $-(u+v)$ なので、 $-x$ と一致します。また、定数項は $uv$ なので、 $y$ と一致します。このことから、 $u,v$ は\[ t^2-xt+y=0 \]という t に関する二次方程式の解となります。こうした考えは、【標準】解から二次方程式を作るとも関連しています。

u, v に対して x, y を対応させるのは簡単ですね。和と積を計算すれば終わりです。一方、 x, y から u, v を求めるのは簡単ではありません。しかし、このように、解と係数の関係を用いれば、二次方程式を解くことによって、 x, y から u, v を対応させることができる、ということなんですね。

これを使えば、 x, y について、対応する実数 u, v が存在するかどうかは簡単にわかります。\[ t^2-xt+y=0 \]が実数解を持つ条件を考えればいいからです。よって、判別式が $0$ 以上ならいいので
\begin{eqnarray} (-x)^2 -4y \geqq 0 \\[5pt] y \leqq \frac{1}{4}x^2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、求める領域は以下のようになります。

図の色で塗った部分（境界線上の点を含む）となります。なお、上で見た通り $(0,1)$ は含まれていませんね。

ここで見たような「対応する実数が存在する条件」のことを、「実数条件」と呼ぶことがあります。

実数条件と領域その２

例題2

実数 u, v が $u^2+v^2\leqq 1$ を満たしながら動くとする。 $x=u+v$, $y=uv$ とするとき、点 $(x,y)$ の動く領域を求めなさい。

これも、先ほどと同様に、実数 u, v が存在するための条件を考える必要があります。実数
u, v が存在することは、 $t^2-xt+y=0$ が実数解を持つことと同値であり、上で見た通り\[ y \leqq \frac{1}{4}x^2 \]を満たすことと同値です。

また、 $u^2+v^2\leqq 1$ という条件も、 x, y を使って表しましょう。【標準】対称式の値を参考に、 $x=u+v$ を2乗して余分な部分を引く、と考えて
\begin{eqnarray} u^2+v^2 & \leqq & 1 \\[5pt] (u+v)^2-2uv & \leqq & 1 \\[5pt] x^2-2y & \leqq & 1 \\[5pt] y & \geqq & \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

2つの条件を満たさないといけないので、この両方に含まれる部分が答えとなります。