【応用】ベクトルの終点の存在範囲（台形）

🕒 2017/10/08 🔄 2023/05/01

ここでは、ベクトルの終点の存在範囲を求める問題を見ていきます。答えが三角形や台形になるような例を取り上げます。

📘 目次

係数の和が1で係数が0以上の場合

$\mathrm{ A }(\vec{a})$, $\mathrm{ B }(\vec{b})$, $\mathrm{ P }(\vec{p})$ があって、 $\vec{p}=(1-t) \vec{a}+t\vec{b}$ を満たしていたとします。このとき、【応用】ベクトルの終点の存在範囲（直線）でも見た通り、点 P は直線 AB 上を動きます。ここで、 $0\leqq t \leqq 1$ という条件、つまり、それぞれの係数が $0$ 以上である、という条件がつくとどうなるでしょうか。

上の式はもともと\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OP } }=\overrightarrow{ \mathrm{ OA } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ AB } } \]と同じであったことを思い出せば、 $t=0$ のときと $t=1$ のときの間を考えればいいことがわかります。よって、 P は線分 AB 上を動くことがわかります。

同じことですが、 $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$, $s+t=1$, $s\geqq 0$, $t\geqq 0$ のときも、 P は線分 AB 上を動くことがわかります。【基本】2点を通る直線のベクトル方程式の内容も参考になるはずです。

係数の和が $1$ という条件だけなら直線、各係数が $0$ 以上という条件もつけば線分になる、ということですね。これを踏まえて、次の問題を考えてみましょう。

係数の和が動く場合

例題

平行四辺形 ABCD がある。 AB, BC, CD, DA の中点を、それぞれ、 E, F, G, H とし、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AP } }=s\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ AH } }$ とする。
次の条件を満たしながら s, t が動くとき、点 P の存在範囲を求めなさい。
(1) $0\lt s+t \lt 1$, $s\gt 0$, $t\gt 0$
(2) $1\leqq s+t \leqq 2$, $s \geqq 0$, $t \geqq 0$

図は次のようになっています。

「(1) $0\lt s+t \lt 1$, $s\gt 0$, $t\gt 0$ 」を考えてみましょう。【応用】ベクトルの終点の存在範囲（平行四辺形）の場合と少し似ていますが、決定的に違うのは、 s, t が独立には動けない、という点です。和に制約があるので、これを考えないといけません。

この場合、 s を動かして t を動かすよりも、和に関する条件が与えられているのだから、和を動かしたほうが考えやすくなります。 k を $0\lt k\lt 1$ を満たす実数とし、 $k=s+t$ としましょう。このとき、
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ AP } } &=& s\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ AH } } \\[5pt] &=& \frac{s}{k} \times k\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }+\frac{t}{k} \times k\overrightarrow{ \mathrm{ AH } } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。こうして、 $\overrightarrow{ \mathrm{ AQ } }=k\overrightarrow{ \mathrm{ AE } }$, $\overrightarrow{ \mathrm{ AR } }=k\overrightarrow{ \mathrm{ AH } }$ となる Q, R をとれば、係数は正で、係数の和は $\dfrac{s}{k}+\dfrac{t}{k}=1$ となります。よって、このときに P の動く範囲は、線分 QR（両端の点を除く）となります。