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【基本】無理関数のグラフ（放物線の一部）

🕒 2018/06/24 🔄 2023/05/01

ここでは、無理関数 $y=\sqrt{ax+b}$ のグラフについて見ていきます。

📘 目次

無理関数のグラフ

【基本】無理関数では、無理関数 $y=\sqrt{ax}$ のグラフについて見ましたが、ここでは、 $y=\sqrt{ax+b}$ の場合にはどうなるかを考えていきます。

$y=\sqrt{2x+3}$ のグラフがどうなるかを考えてみましょう。無理関数の場合は、定義域に注意が必要なのでした。根号の中が0以上の部分だけが定義域なので、\[ x\geqq -\dfrac{3}{2} \]が定義域となります。

この範囲で、具体的な値を代入して、わかりやすい点をいくつかピックアップしてみましょう。 $x=-\dfrac{3}{2},0,3$ と代入すると $y=0,\sqrt{3},3$ となります。

これらを滑らかにつなげていくと、次のようになります。

元の式を2乗すると、 $y^2=2x+3$ となります。 $x,y$ を入れ替えれば $x^2=2y+3$ となり、変形すれば\[
y=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2} \]となります。つまり、放物線ですね。 $x,y$ を入れ替えるということは、縦と横を入れ替えるということなので、滑らかにつないだものがグラフとなる、と考えて構いません。

ちなみに、縦と横を入れ替えたものも合わせてかくと、こうなります。

一般に、 $y=\sqrt{ax+b}$ のグラフは、放物線の一部になります。

無理関数のグラフと平行移動

先ほど $y=\sqrt{2x+3}$ のグラフを見ましたが、これと式の形が似ている $y=\sqrt{2x}$ のグラフとはどのような関係があるでしょうか。両者を並べてみましょう。

$y=\sqrt{2x+3}$ で、 $x=0,1,2$ としたときと $y$ 座標が同じになるのは、 $y=\sqrt{2x}$ でいうと、 $x=\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2},\dfrac{7}{2}$ となります。つまり、 $y=\sqrt{2x+3}$ のグラフは、 $y=\sqrt{2x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\dfrac{3}{2}$ だけ移動したものになる、と予想できます。

この予想を、式で計算して確認してみましょう。 $y=\sqrt{2x}$ 上の点 $(X,Y)$ を、 $x$ 軸方向に $-\dfrac{3}{2}$ だけ平行移動したら $(x,y)$ に移るとします。つまり、\[ X-\dfrac{3}{2}=x,\ Y=y \]ということです。 $X,Y$ は\[ Y=\sqrt{2X} \]を満たすので、ここに、 $x,y$ を代入すれば\[ y=\sqrt{2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)}=\sqrt{2x+3} \]となります。移動した後の点が、 $y=\sqrt{2x+3}$ を満たすことがわかります。よって、たしかに、 $y=\sqrt{2x+3}$ のグラフは、 $y=\sqrt{2x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\dfrac{3}{2}$ だけ移動したものになることがわかります。

一般に、 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ のグラフは、 $y=\sqrt{ax}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したもの、となります。

無理関数のグラフの例

今まで見てきたことを踏まえて、無理関数のグラフの例をいくつかみておきましょう。

$y=-\sqrt{3x-6}$ のグラフを考えましょう。これは、 $y=\sqrt{3x}$ のグラフを平行移動した、と考えて次のように変形します。
\begin{eqnarray} y &=& -\sqrt{3x-6} \\[5pt] &=& -\sqrt{3(x-2)} \\[5pt] \end{eqnarray}これより、 $y=-\sqrt{3x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すればいいことがわかります。グラフは次のようになります。

$y=\sqrt{-2x-1}+3$ のグラフはどうなるでしょうか。これも今までと同じように変形します。
\begin{eqnarray} y &=& \sqrt{-2x-1}+3 \\[5pt] &=& \sqrt{-2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}+3 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これより、 $y=\sqrt{-2x}$ のグラフを、 $x$ 軸方向に $-\dfrac{1}{2}$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したグラフになることがわかります。