【基本】根号を含む計算の復習

🕒 2016/05/16 🔄 2023/05/01

ここでは、根号を含む計算、ルートを含む計算を見ていきます。すでに知っている内容が大半ですが、復習のためにまとめておきます。有理化について新しいことを学ぶのですが、そのための準備だと思ってください。

📘 目次

平方根

まずは、用語の説明をしていきます。

2乗して a になる数を、「a の平方根」と言います。例えば、「4の平方根は、2と-2」です。平方根は、二乗根や自乗根と呼ぶこともあります。

三平方の定理「 $a^2+b^2=c^2$ 」や二次方程式など、今までいろいろな場面で「二乗」が出てきました。そして、これからも頻繁に出てきます。そのため、「二乗してこれこれになる数」というのも重要なんですね。これから数学をやっていくうえで、この「平方根」は何度も出てきます。

a が正のときは、平方根は2つあります。そのうち、正の平方根を $\sqrt{a}$ と書き、「ルートエー」と呼びます。負の平方根を $-\sqrt{a}$ と書きます。両方を合わせて $\pm\sqrt{a}$ と書くこともあります。

$\sqrt{0}=0$ です。また、二乗してマイナスになる実数はないので、負の数の平方根はありません。

平方根

$a\gt 0$ とする。2乗して $a$ になる数を $a$ の平方根という。このうち、正の数を $\sqrt{a}$ で表す。
また、 $0$ の平方根は $0$ である。

この$\sqrt{\quad }$ という記号には、「根号」という名前がついています。

定義から明らかですが、次のことが成り立ちます。

2乗の平方根

$a\geqq 0$ のとき、$\sqrt{a^2}=\sqrt{(-a)^2}=a$

また、$a\lt 0$ のときは、$\sqrt{a^2}=-a$ なので、一般の a に対しては、$\sqrt{a^2}=|a|$ が成り立ちます。右辺にあるのは、絶対値です。絶対値については、【基本】絶対値で解説しています。

根号を含む計算

根号を含んだ計算で、ポイントとなるのは、次の3つです。特に、3つ目が重要です。

平方根の計算

$a,b,c \gt 0$ のとき、次が成り立つ。
1． $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$
2． $\dfrac{\sqrt{a} }{\sqrt{b} } = \sqrt{\dfrac{a}{b} }$
3． $\sqrt{ac^2} = c\sqrt{a}$

1つ目と2つ目は、「ルートの積や商は、1つにまとめられる」ということですね。3つ目は、「ルートの中の2乗は、ルートの外に出せる」ということです。

例えば、$\sqrt{18}$ は、2乗の部分とそうでない部分に分けて\[ \sqrt{18}=\sqrt{3^2\times 2}=3\sqrt{2}\]と書けるということですね。

また、根号を含んだ計算では、「根号の中が同じものはまとめる」必要があります。例えば、
\begin{eqnarray} & & \sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{8} \\ &=& \sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\ &=& 2\sqrt{2} \\ \end{eqnarray}となります。文字を含んだ計算と同じ要領ですね。大きく異なる点は、「ルートの中の2乗は、ルートの外に出せる」という点です。この計算はしっかりできるようにしておきましょう。