【基本】二次関数の３つの形

ここでは、二次関数を表現するのによく使う３つの形をまとめます。それぞれの形の使いどころなどを見ていきます。

一般形

二次関数の形として一番よく見るのは次の形です。\[ f(x)=ax^2+bx+c \]これは一般形(standard form)と呼ばれます。

もっとも基本的な形で、 x に値を代入するときや、解の公式や判別式を使うとき（今後出てきます）、放物線と直線との交点を求めるとき（今後出てきます）など、いろいろな場面でこの形を使います。

$y=ax^2+bx+c$ のグラフは、 y 軸との交点はわかりますが、他の情報はこのままではよくわかりません。後で述べる標準形に変形して調べることになります。

標準形

二次関数の形として、高校数学ではこの形もよく見ることになります。\[ f(x)=a(x-p)^2+q \]これは、標準形(vertex form)と呼ばれています。

主に、グラフの頂点を求めるときに使います。また、頂点や軸の情報がわかっているときに、二次関数を考える場合にも使います（参考：【基本】二次関数の決定（頂点・軸指定））。

グラフが x 軸や y 軸とどう交わるかはパッとはわからないですが、頂点の座標がわかるので x 軸との位置関係だけはすぐにわかります。

因数分解形

二次関数の形には、次の形もあります。\[ f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta) \]これは、因数分解形(factored form)と呼ばれています。

この形は、上の２つと違って、いつもこの形に変形できるわけではありません。この形に変形できるのは、 $f(x)=0$ が実数解を持つ場合だけです。

x 軸との共有点に関する情報はすぐにわかります。x 軸との共有点の情報がわかっているときに、二次関数を考えるのにも使えます（【基本】二次関数の決定（x軸との交点指定））。一方、先ほども書きましたが、いつでもこの形が使えるわけではない、という欠点があります。

おわりに

二次関数を表現する３つの形を見てきました。与えられた情報が活かせる形を選ぶことが重要です。それによって、問題の解きやすさも変わってきます。