【基本】対数の性質（積や累乗の対数）

🕒 2018/06/28 🔄 2023/05/01

ここでは、積の対数、累乗の対数について見ていきます。なお、 $a\gt 0, a\ne 1$ とし、 $M,N\gt0$ とします。

📘 目次

積の対数と対数同士の和

対数同士の和に関する性質を見てみましょう。

$5^{\log_5 2+\log_5 3}$ について考えてみます。指数の部分が複雑な形をしていますが、指数法則を使えば、次のように分解できます。\[ 5^{\log_5 2}\cdot 5^{\log_5 3} \]【基本】対数の基本性質でも見た通り、対数の定義から、これは、 $2\times 3$ となり、 $6$ だとわかります。

\[ 5^{\log_5 2+\log_5 3}=6 \]なのだから、 $\log_5 2+\log_5 3$ は、「5を何乗すると6になるか」の解であることがわかります。つまり、\[ \log_5 6 = \log_5 2+\log_5 3 \]が成り立つということです。

この式を次のように表してみます\[ \log_5 (2\cdot 3) = \log_5 2+\log_5 3 \]左辺は「積の対数」になっていて、それが右辺のように「対数同士の和」に分解されているように見えますね。これは、一般的にも成り立ちます。

一般的なケースで考えてみましょう。 $a^p=M$, $a^q=N$ としましょう。このとき、積 $MN$ は、次のように変形できます。
\begin{eqnarray} MN &=& a^p\cdot a^q \\[5pt] &=& a^{p+q} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、 $a$ を $p+q$ 乗すると $MN$ になるのだから、\[ \log_a MN = p+q \]が成り立ちます。もともと、 $a^p=M$, $a^q=N$ だったのだから、\[ \log_a MN = \log_a M +\log_a N \]が成り立つことがわかります。

言葉でいうと、「積の対数は、対数の和」となります。左辺を右辺に分解する使い方もするし、逆に、右辺から左辺へひとまとめにすることもあります。底がすべて同じであることに注意しましょう。

例えば、 $\log_{10}2+\log_{10}5$ は、先ほどの内容を使えば、 $\log_{10} 10=1$ と求められることがわかります。それぞれの項の値を求めることは難しいですが、和は求められるんですね。

累乗の対数

$k$ を実数とし、 $\log_a M^k$ がどうなるかを見てみましょう。先ほどと同じように、 $a^p=M$ とおくと
\begin{eqnarray} M^k &=& (a^p)^k \\[5pt] &=& a^{pk} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $a$ を $pk$ 乗したら $M^k$ になるのだから、\[ \log_a M^k=pk \]になるということです。もともと、 $a^p=M$ とおいていたので、\[ \log_a M^k=k\log_a M \]が成り立つということです。

言葉で書くと、「累乗の対数は、対数の定数倍」ということですね。

例えば、 $\log_2 2^3$ は、 $3\log_2 2$ となることがわかります。 $\log_2 2=1$ なのだから、 $\log_2 2^3=3$ だとわかるわけですね。これは、【基本】対数の基本性質で見た\[ \log_a a^p=p \]からもわかる内容ですね。

商の対数

積の対数、累乗の対数を組み合わせると、商の対数を考えることもできます。

$\log_a \dfrac{M}{N}$ について考えてみましょう。これは、 $M$ と $\dfrac{1}{N}$ の積だと考えれば\[ \log_a M+\log_a\dfrac{1}{N} \]と分解できることがわかります。また、 $\dfrac{1}{N}=N^{-1}$ なので、累乗の対数だと考えれば、最終的に\[ \log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N \]と変形できることがわかります。

言葉で書くと、「商の対数は、対数の差」といえます。

積・商・累乗の対数のまとめ

今までの話をまとめておきましょう。

積・商・累乗の対数

積・商・累乗の対数について、次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray} \log_a MN &=& \log_a M +\log_a N \\[5pt] \log_a \dfrac{M}{N} &=& \log_a M -\log_a N \\[5pt] \log_a M^k &=& k\log_a M \\[5pt] \end{eqnarray}

これらを用いて、いろいろな対数の計算を行うことができます。これらを使った複雑な計算については、別の機会に見ていきます。

これらの性質は、【導入】指数関数・対数関数とマグニチュードでも少し紹介した、対数を考えるメリットを表しています。左辺の真数の部分にある、 $MN$ や $\dfrac{M}{N}$ や $M^k$ は、すごく大きな値やすごく小さな値になることがあります。しかし、右辺の対数の部分を見ると、和や差、定数倍となっていて、それほど大きな値・小さな値にはなりません。

そのため、大きすぎる値（ $10^{23}$ とか）や小さすぎる値（ $10^{-14}$ とか）と言った値でも、対数を使えば扱いやすくなります。実際、これらは $10$ を底とする対数を考えれば、 $23$ と $-14$ となり、扱いやすいですね。元の数を掛けたり割ったり何乗かするよりも、こうした扱いやすい値の和や差や定数倍が使えたほうが便利だ、というのがわかるでしょう。