【基本】二次関数の決定（３点指定）

🕒 2016/08/31 🔄 2023/05/01

ここでは、グラフが指定した３点を通る二次関数を求める問題を考えてみます。一次関数の場合は、２点を指定すればよかったのですが、二次関数の場合は３点を指定して初めて特定できます。

📘 目次

例題

ある二次関数のグラフが、点 $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,6)$ を通るとき、この二次関数を求めなさい。

二次関数は、一般的に $y=ax^2+bx+c$ と書けます。３つわからないものがあるので、３つの条件が必要です。３つの条件があれば、次のようにして係数を求めることができます。

この二次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおくと、３点を通ることから次の３つの式が成り立ちます。
\begin{eqnarray} a\cdot 1^2 +b\cdot 1+c &=& 2 \\ a\cdot 2^2 +b\cdot 2+c &=& 3 \\ a\cdot 3^2 +b\cdot 3+c &=& 6 \\ \end{eqnarray}それぞれ計算すると、次のようになります。 \begin{eqnarray} a+b+c &=& 2 \quad \cdots (1) \\ 4a+2b+c &=& 3 \quad \cdots (2) \\ 9a+3b+c &=& 6 \quad \cdots (3) \\ \end{eqnarray}

３つ式がある連立方程式は大変ですが、 c を消す方針で計算すると、スムーズに進みます。

まず、(2)-(1)を計算して\[ 3a+b=1 \]が得られます。次に、(3)-(2)を計算して\[ 5a+b=3 \]となります。この２つの式を辺々引くと\[ 2a=2 \]となり、 $a=1$ がわかります。これから、\[ 3+b=1 \]なので、$b=-2$ もわかります。(1)に代入すれば\[1-2+c=2\]から、 $c=3$ がわかります。

以上から、求める二次関数は、 $y=x^2-2x+3$ であることがわかります。