【基本】分数式の足し算・引き算

🕒 2017/05/05 🔄 2023/07/13

ここでは、分数式の足し算・引き算を見ていきます。掛け算・割り算よりも、少し計算が複雑になります。

📘 目次

分母が同じ分数式の足し算と引き算

分数の足し算や引き算をするとき、分母が同じであれば、分子を足したり引いたりするだけでしたね。\[ \frac{3}{5}+\frac{1}{5}=\frac{4}{5} \]などと計算していました。

分数式の足し算や引き算の場合も同様です。分母が同じであれば、分子を足したり引いたりするだけです。\[ \frac{2x}{x+y} + \frac{y}{x+y} \]であれば、分子同士を足して $\dfrac{2x+y}{x+y}$ となります。

また、\[ \frac{b}{a-b}-\frac{a}{a-b} \]であれば、分子の引き算を行って
\begin{eqnarray} \frac{b}{a-b}-\frac{a}{a-b} &=& \frac{b-a}{a-b} \\[5pt] &=& \frac{-(a-b)}{a-b} \\[5pt] &=& -1 \end{eqnarray}となります。約分ができるときは、約分をしてから答えます。

分母が違う分数式の足し算と引き算

少し面倒なのは、分母が異なる場合です。分数の場合は、次のように計算していました。
\begin{eqnarray} \frac{1}{3}+\frac{1}{5} &=& \frac{5}{15}+\frac{3}{15} \\[5pt] &=& \frac{8}{15} \end{eqnarray}分母が同じになるように、それぞれの分数の分母・分子に同じ数を掛けてから計算するのでしたね。このように分母を合わせることを「通分」というのでした。

分数式の場合も、「通分」があります。分母が異なる足し算・引き算の場合は、まず分母をそろえる必要があります。例えば、次の計算を考えてみましょう。\[ \frac{1}{x^2+x} -\frac{1}{x^2-1} \]通分をするために、それぞれ分母を $(x^2+x)(x^2-1)$ となるようにしてもいいのですが、今の場合、分母はもっと簡単に表すことができます。まずは、因数分解をします。
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{x^2+x} -\frac{1}{x^2-1} \\[5pt] &=& \frac{1}{x(x+1)} -\frac{1}{(x-1)(x+1)} \\[5pt] \end{eqnarray}こうすると、分母を $x(x-1)(x+1)$ にすればいいことがわかります。つまり、1つ目の分数式には、分母・分子に $x-1$ を掛け、2つ目の分数式には、分母・分子に $x$ を掛ければいいことがわかります。このように通分をしてさらに計算をすると \begin{eqnarray} & & \frac{1}{x^2+x} -\frac{1}{x^2-1} \\[5pt] &=& \frac{1}{x(x+1)} -\frac{1}{(x-1)(x+1)} \\[5pt] &=& \frac{x-1}{x(x-1)(x+1)} -\frac{x}{x(x-1)(x+1)} \\[5pt] &=& -\frac{1}{x(x-1)(x+1)}\\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

分数式の掛け算・割り算の場合には、まずは因数分解をする必要がありましたが、足し算・引き算の場合にも、通分のために因数分解が必要なんですね。また、分子を足し引きした後は、約分することができないか、さらに確認する必要があります。そのため、足し引きしたあとに、再度因数分解を行うことになります。