東京大学 理系 2014年度 第4問 解説

解答編

問題

 p, q は実数の定数で、 $0 \lt p \lt 1$, $q \gt 0$ をみたすとする。関数\[ f(x) = (1-p)x +(1-x)(1-e^{-qx}) \]を考える。
 以下の問いに答えよ。必要であれば、不等式 $1+x\leqq e^x$ がすべての実数 x に対して成り立つことを証明なしに用いてよい。

(1) $0 \lt x \lt 1$ のとき、 $0 \lt f(x) \lt 1$ であることを示せ。

解答

(1) $p \lt 1$, $x \gt 0$ より $(1-p)x \gt 0$ である。
$0\lt x \lt 1$, $q \gt 0$ より $(1-x)(1-e^{-qx}) \gt 0$ である。
辺々加えると、 $f(x) \gt 0$ が得られる。

また、 $p \gt 0$, $x \gt 0$ より $(1-p)x \lt x$ である。
$x \lt 1$ より $(1-x)(1-e^{-qx}) \lt 1-x$ である。
辺々加えると、 $f(x) \lt 1$ が得られる。

以上から、 $0\lt f(x)\lt 1$ が成り立つ。

解説

答えを見れば、「あぁそうか」という感じになりますが、いきなり微分してしまう人は多いと思います。積の形で書かれているので、まずは各パーツの評価がうまく使えないか試行錯誤してみましょう。普通はそう甘くはないのですが、ここではその方法で解けてしまいます。

初動を間違うと、深みにはまる可能性があります。

解答編 つづき

問題

(2) $x_0$ は $0 \lt x_0 \lt 1$ をみたす実数とする。数列 $\{x_n\}$ の各項 $x_n$ $(n=1,2,3,\cdots)$ を、\[ x_n = f(x_{n-1}) \]によって順次定める。 $p \gt q$ であるとき、\[ \lim_{n\to\infty} x_n = 0 \]となることを示せ。

解答

(2) (1)より、すべての自然数 n に対して $x_n \gt 0$ が成り立つことがわかる。

すべての実数 y について $1+y \leqq e^y$ が成り立つので、 $y=-qx$ とすると
\begin{eqnarray}
1-qx \leqq e^{-qx} \\
1-e^{-qx} \leqq qx \\
\end{eqnarray}が成り立つ。

よって
\begin{eqnarray}
f(x)
& \leqq &
(1-p)x+(1-x)qx \\
&=&
x(1-p+q)-qx^2 \\
& \lt &
x(1-p+q) \\
\end{eqnarray}が成り立つ。このことから、\[ 0 \lt x_n \lt x_0 (1-p+q)^n \]が成り立つ。ここで、 $p \lt 1$, $q\gt 0$ より $1-p+q \gt 0$ であり、 $p\gt q$ から $1-p+q \lt 1$ となるので、はさみうちの原理から\[ \lim_{n\to\infty} x_n = 0 \]となる。

解説

(1)から各項が正であることはわかります。さらに $0$ に収束することをいうには、上からの評価を考えないといけません。上からおさえられる条件を導いて、はさみうちの原理を使う方針で解きます。

解答編 つづき

問題

(3) $p \lt q$ であるとき、\[ c=f(c), \quad 0 \lt c \lt 1 \]をみたす実数 c が存在することを示せ。

解答

(3) $g(x)=f(x)-x$ とおく。

\begin{eqnarray}
g'(x)
&=&
(1-p) +(-1)(1-e^{-qx}) +(1-x)\cdot q e^{-qx} -1 \\
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
g'(0)
&=&
1-p+q-1 \\
&=&
q-p \gt 0
\end{eqnarray}が成り立つ。ここで、 $g(0)=f(0)=0$ なので、 $\displaystyle 0\lt a \lt 1$ で $g(a) \gt 0$ となる実数 a が存在する。

また、 $g(1)=f(1)-1=-p \lt 0$ である。

$g(x)$ は連続な関数なので、中間値の定理から、 $a\lt c \lt 1$ で $g(c)=0$ となる実数 c が存在する。この c は与えられた条件を満たす。よって、題意が示された。

解説

$f(x)$ のまま扱うよりも、 $g(x)=f(x)-x$ とおいて、 $g(c)=0$ となる実数を探す方が考えやすいと思います。 $g(x)$ は連続であり、 $x=0$ のまわりでは正で、 $x=1$ のまわりでは負だから、この間に $g(c)=0$ となる実数 c がある、という流れで示しています。