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東京大学 理系 2012年度 第4問 解説

問題編

問題

 $n$ を2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)の n 乗になる数を n 乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。

(1) 連続する2個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。
(2) 連続する n 個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。

考え方

積に関する問題なので、素因数分解をしたり、倍数に着目して考えていきましょう。どちらも、「連続する2つの自然数が互いに素であること」を使います。

なお、問題文は似ていますが、(2)を解くときに(1)の結果を使う必要はありません。


解答編

問題

 $n$ を2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)の n 乗になる数を n 乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。

(1) 連続する2個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。

解答

背理法で示す。

ある自然数 a, m が\[ a(a+1)=m^n \]を満たすとする。このとき、左辺は2以上なので、 $m\geqq 2$ である。

m を素因数分解した結果が\[ m=p_1^{r_1}p_2^{r_2}\cdots p_k^{r_k} \]であったとする。ここで、 $p_i$ は素数であり、 $r_i$ は自然数である( $i=1,2,\cdots ,k$ )。

\[ a(a+1)=m^n= p_1^{nr_1}p_2^{nr_2}\cdots p_k^{nr_k} \]と書ける。各 $p_i$ に対し、 $a, a+1$ のどちらかは $p_i$ で割り切れるが、 $(a+1)-a=1$ より $a$ と $a+1$ は互いに素となるので、 $a$ が $p_i$ で割り切れるなら $a$ は $p_i^{nr_i}$ で割り切れるし、 $a+1$ が $p_i$ で割り切れるなら $a+1$ は $p_i^{nr_i}$ で割り切れることになる。このことから、 $a$ と $a+1$ はともに n 乗数となることがわかる。

しかし、 $r,s$ が自然数で $r\gt s$ のとき
\begin{eqnarray} r^n-s^n &=& (r-s)(r^{n-1}+r^{n-2}s+\cdots+s^{n-1}) \\ &\geqq& 1 \times (2^{n-1}+0+\cdots+0) \\ &\geqq& 2^{2-1}=2 \\ \end{eqnarray}となり、 n 乗数の差は2以上となるため、 $a,a+1$ がともに n 乗数になることはない。よって、題意が示された。 (終)

解説

連続する2個の自然数は互いに素になることから、積が n 乗数と仮定すると、もとの自然数がともに n乗数にならないといけなくなります。しかし、 n 乗数の差が1になることがないので、矛盾します。このことを使って示します。

解答編 つづき

問題

(2) 連続する n 個の自然数の積は n 乗数でないことを示せ。

解答

背理法で示す。

ある自然数 a, m が\[ a(a+1)\cdots (a+n-1)=m^n \]を満たすとする。このとき、\[ a^n \lt a(a+1)\cdots (a+n-1) \lt (a+n-1)^n \]が成り立つので
\begin{eqnarray} a^n \lt m^n \lt (a+n-1)^n \\ a \lt m \lt a+n-1 \\ \end{eqnarray}が成り立つ。 $n=2$ のときはこれを満たす自然数 m が存在しないので、以下では $n\geqq 3$ とする。このとき、 $a,a+1,\cdots, a+n-1$ の中に $m+1$ と等しいものがあるので、 $a(a+1)\cdots (a+n-1)$ は $m+1$ で割り切れる。しかし、 $m$ と $m+1$ は互いに素なので、 $m^n$ は $m+1$ で割り切れない。これは\[ a(a+1)\cdots (a+n-1)=m^n \]とかけることに矛盾する。よって、題意が示された。 (終)

解説

(2)は、連続する n 個の自然数の積と、ある自然数の n 乗に関する問題です。両方とも n 個の積なので、\[a \lt m \lt a+n-1\]という大小関係が使えます。

(1)と同様に、連続する2個の自然数が互いに素になることを利用しますが、少し使い方は違います。

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