東京大学 文系 2024年度 第4問 解説
問題編
問題
$n$ を $5$ 以上の奇数とする。平面上の点 $\mathrm{O}$ を中心とする円をとり、それに内接する正 $n$ 角形を考える。 $n$ 個の頂点から異なる $4$ 点を同時に選ぶ。ただし、どの $4$ 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ $4$ 点を頂点とする四角形が $\mathrm{O}$ を内部に含む確率 $p_n$ を求めよ。
考え方
$\mathrm{O}$ を含む場合より含まない場合の方が考えやすいでしょう。含まない場合、4点の場所は偏っているので、状況がしぼりやすいです。
解答編
問題
$n$ を $5$ 以上の奇数とする。平面上の点 $\mathrm{O}$ を中心とする円をとり、それに内接する正 $n$ 角形を考える。 $n$ 個の頂点から異なる $4$ 点を同時に選ぶ。ただし、どの $4$ 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ $4$ 点を頂点とする四角形が $\mathrm{O}$ を内部に含む確率 $p_n$ を求めよ。
解答
ある頂点から時計回りに $\mathrm{A}_1$ から $\mathrm{A}_n$ と名前をつける。この $n$ から $4$ 点を選ぶ方法は ${}_n\mathrm{C}_4$ 通りある。
次に、作った四角形が $\mathrm{O}$ を含まない場合を考える。
まず、頂点 $\mathrm{A}_1$ が選ばれ、 $\mathrm{A}_1$ が一番長い辺の両端のどちらかになるケースを考える。
直線 $\mathrm{OA}_1$ で円を2つに分け、どちらかを選ぶ。選んだほうにある $\dfrac{n-1}{2}$ の点から $3$ 点を選ぶ（$n=5$ のときは $0$ 通りである）。この4点を結べば、 $\mathrm{O}$ を含まない四角形ができあがる。
一番初めの頂点の選び方は $n$ 通りある。また、 $\mathrm{A}_i$ が一番長い辺の両端のどちらかになるケースは、それぞれ2回重複して数えられる。
以上から、 $\mathrm{O}$ を含まない四角形は
\begin{eqnarray}
n\cdot 2\cdot {}_{\frac{n-1}{2}}\mathrm{C}_3\cdot\frac{1}{2}
\end{eqnarray}通りと書ける（一番長い辺の片方の選び方、半円の選び方、半円から3点の選び方、長い辺の重複）。これを計算すると
\begin{eqnarray}
n\cdot \frac{\frac{n-1}{2}\cdot \frac{n-3}{2}\cdot \frac{n-5}{2}}{6}=\frac{n(n-1)(n-3)(n-5)}{48}
\end{eqnarray}となる。 $n=5$ のときは $0$ になるので、これは $n=5$ のときも成り立つ。
よって、 $\mathrm{O}$ を含まない確率は次のように求められる。
\begin{eqnarray}
& &
\frac{n(n-1)(n-3)(n-5)}{48} \div {}_n\mathrm{C}_4 \\[5pt]
&=&
\frac{n(n-1)(n-3)(n-5)}{48} \cdot \frac{24}{n(n-1)(n-2)(n-3)} \\[5pt]
&=&
\frac{n-5}{2(n-2)} \\[5pt]
\end{eqnarray}よって、\[ p_n=1-\frac{n-5}{2(n-2)}=\frac{n+1}{2(n-2)} \]となる。（答）
