共通テスト数学I・数学A 2026年度第1問 [1] 解説

🕒 2026/01/18

【必答問題】

問題編

問題

　全体集合 $U$ を2以上20以下の自然数全体の集合とする。すなわち
\[U=\{2, 3, 4, \cdots, 20\}\]である。

　2以上9以下の自然数 $a, b$ に対して、$U$ の部分集合 $A, B$ を
\begin{eqnarray} A &=& \{k \mid k \in U, k \text{ と } a \text{ は1以外の正の公約数をもつ}\} \\[5pt] B &=& \{k \mid k \in U, k \text{ と } b \text{ は1以外の正の公約数をもつ}\} \end{eqnarray}とする。
　例えば
\begin{eqnarray} a=7 \text{ のとき、}& & A=\{7, 14\} \\[5pt] a=9 \text{ のとき、}& & A=\{3, 6, 9, 12, 15, 18\} \end{eqnarray}である。
(1) $a=3$ のとき、$A=\dBox{ア}$、$b=4$ のとき、$B=\dBox{イ}$ である。このとき
\[A \cap B = \dBox{ウ}, \quad A \cap \overline{B} = \dBox{エ}\]である。

$\dbox{ア}$ ～ $\dbox{エ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\{12\}$
1: $\{3, 9\}$
2: $\{3, 9, 15\}$
3: $\{6, 12, 18\}$
4: $\{3, 6, 9, 15, 18\}$
5: $\{4, 8, 12, 16, 20\}$
6: $\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$
7: $\{2, 4, 8, 10, 14, 16, 20\}$
8: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$
9: $\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}$

(2) $a, b$ が2以上9以下の自然数であることに注意して、$a, b$ について考えよう。

(i) $\overline{A}$ の要素に、2の倍数も3の倍数もないとき
\[a=\myBox{オ}\]である。

(ii) $A \cap \overline{B}=\{5\}$ であるとき
\[a=\myBox{カ}, \quad b=\myBox{キ}\]である。

考え方

集合の問題ですが、条件が少し考えづらいです。結果から条件を考えるために、どういう要素が対象になるかをよく考えましょう。

(2)(ii)は、 $5$ が含まれること、 $5$ 以外は含まれないこと、と考えましょう。

【必答問題】

解答編

問題

　全体集合 $U$ を2以上20以下の自然数全体の集合とする。すなわち
\[U=\{2, 3, 4, \cdots, 20\}\]である。

　2以上9以下の自然数 $a, b$ に対して、$U$ の部分集合 $A, B$ を
\begin{eqnarray} A &=& \{k \mid k \in U, k \text{ と } a \text{ は1以外の正の公約数をもつ}\} \\[5pt] B &=& \{k \mid k \in U, k \text{ と } b \text{ は1以外の正の公約数をもつ}\} \end{eqnarray}とする。
　例えば
\begin{eqnarray} a=7 \text{ のとき、}& & A=\{7, 14\} \\[5pt] a=9 \text{ のとき、}& & A=\{3, 6, 9, 12, 15, 18\} \end{eqnarray}である。
(1) $a=3$ のとき、$A=\dBox{ア}$、$b=4$ のとき、$B=\dBox{イ}$ である。このとき
\[A \cap B = \dBox{ウ}, \quad A \cap \overline{B} = \dBox{エ}\]である。

$\dbox{ア}$ ～ $\dbox{エ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\{12\}$
1: $\{3, 9\}$
2: $\{3, 9, 15\}$
3: $\{6, 12, 18\}$
4: $\{3, 6, 9, 15, 18\}$
5: $\{4, 8, 12, 16, 20\}$
6: $\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$
7: $\{2, 4, 8, 10, 14, 16, 20\}$
8: $\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$
9: $\{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20\}$

解説

(1)
$k$ と $3$ が $1$ 以外の正の公約数を持つ場合とは、 $k$ が $3$ の倍数のときです。なので、 $a=3$ のとき、 $A=\{3,6,9,12,15,18\}$ となります。

$k$ と $4=2^2$ が $1$ 以外の正の公約数を持つ場合とは、 $k$ が $2$ の倍数のときです。なので、 $a=4$ のとき、 $B=\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\}$ となります。

$A \cap B$ とは、 $A$ にも $B$ にも属している要素を集めたものです。なので、 $6$ の倍数の集合となります。つまり、 $\{6,12,18\}$ です。

$A \cap \overline{B}$ とは、 $A$ に属しているが $B$ には属していないものを集めたものです。 $B$ に属していないとは、奇数であるということなので、奇数で $3$ の倍数を集めた $\{3,9,15\}$ が答えとなります。

解答

ア：6 （2点）
イ：8 （2点）
ウエ：32 （2点）

解答編　つづき

問題

(2) $a, b$ が2以上9以下の自然数であることに注意して、$a, b$ について考えよう。

(i) $\overline{A}$ の要素に、2の倍数も3の倍数もないとき
\[a=\myBox{オ}\]である。

解説

(2)
(i)

$\overline{A}$ の要素に2の倍数も3の倍数もないということは、 $A$ には、2の倍数と3の倍数がすべて含まれていることになります。 $2$ との正の公約数が $1$ 以外にあり、 $3$ との正の公約数も $1$ 以外にあるのは、 $2$ 以上 $9$ 以下の中では、 $6$ しかありません。