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共通テスト数学I・数学A 2025年度第4問解説

🕒 2025/01/19

【必答問題】

（問題文は後日更新します）

解説

(1)
起こりえるのは、次の4つのどれかで、どれか1つだけが起こります。

1回目で当たり
1回目がハズレ、2回目で当たり
1回目と2回目がハズレ、3回目で当たり
1回目、2回目、3回目がハズレ

1回目または2回目に当たりが出る確率は、1つ目と2つ目を合わせたものなので、\[ \frac{3}{16}+\frac{1}{8}=\frac{5}{16} \]となります。

なので、1回目、2回目ともに当たりが出ない確率は、余事象を考えればいいので\[ 1-\frac{5}{16}=\frac{11}{16} \]となります。

3回目に当たりが出る確率は $\dfrac{1}{16}$ なので、1回も当たりが出ない確率は\[ \frac{11}{16}-\frac{1}{16}=\frac{5}{8} \]となります。

解答

アイウ：516
エオカキ：1116
クケ：58

解説

(2)
(i)

1回も当たりが出ない確率は $\dfrac{5}{8}$ なので、どこかで当たりが出る確率は $\dfrac{3}{8}$ です。

つまり、 $X=1200$ となる確率が $\dfrac{3}{8}$ で、 $X=0$ となる確率が $\dfrac{5}{8}$ なので、期待値は\[ 1200\cdot\frac{3}{8}=450 \]となります。

(ii)
この期待値 $450$ は $500$ 未満なので、参加料の設定は妥当と判断できます。

解答

コサシ：450
ス：0
セ：0

解説

(3)
(i)

$Y=170,340,510$ となる確率が、それぞれ $\dfrac{3}{16},\dfrac{1}{8},\dfrac{11}{16}$ なので、期待値は
\begin{eqnarray} & & 170\cdot\frac{3}{16}+340\cdot\frac{1}{8}+510\cdot\frac{11}{16} \\[5pt] &=& \frac{170}{16}\cdot(1\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 11) \\[5pt] &=& \frac{170}{16}\cdot(3+4+33) \\[5pt] &=& 425 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

ソタチ：425

解説

(3)
(ii)

$X$ の期待値 $450$ は、 $a=170$ としたときの $Y$ の期待値 $425$ 以上なので、くじ引き料の設定は妥当ではないと判断できます。

$Y$ の期待値の計算を見直すと、 $a=170$ ではなく、 $a$ を使って $Y$ の期待値を表すと\[ \frac{a}{16}\cdot(3+4+33)=\frac{10a}{4} \]だとわかります。くじ引き料の設定が妥当と判断するのは、 $X$ の期待値 $450$ が、この $Y$ の期待値 $\dfrac{10a}{4}$ 未満のときなので
\begin{eqnarray} 450 & \lt & \frac{10a}{4} \\[5pt] a & \gt & 450\cdot \frac{4}{10} =180 \\[5pt] \end{eqnarray}のときだとわかります。