共通テスト 数学I・数学A 2025年度 第3問 解説

【必答問題】

（問題文は後日更新します）

解説

(1)

直線 $\mathrm{AD}$ は平面 $\mathrm{ABED}$ と平面 $\mathrm{ACFD}$ との交線なので、点 $\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{ACFD}$ 上にあります。

また、直線 $\mathrm{BE}$ は平面 $\mathrm{ABED}$ と平面 $\mathrm{BCFE}$ との交線なので、点 $\mathrm{P}$ は平面 $\mathrm{BCFE}$ 上にあります。

直線 $\mathrm{CF}$ は平面 $\mathrm{ACFD}$ と平面 $\mathrm{BCFE}$ との交線だから、点 $\mathrm{P}$ は 直線 $\mathrm{CF}$ 上にあることもわかるので、3直線 $\mathrm{AD},\mathrm{BE},\mathrm{CF}$ が点 $\mathrm{P}$ で交わることがわかります。

解答

ア：2
イ：3

解説

(2)
(i)

球を平面で切ると、必ず切り口は円になります。球面 $S$ と平面 $\mathrm{ABED}$ とが交わる部分は円になり、4点 $\mathrm{A,B,E,D}$ はこの円周上にあります。 $\mathrm{P}$ もこの円周上にあります。

このことから、三角形 $\mathrm{PAB}$ と三角形 $\mathrm{PED}$ は相似であり、相似比は\[ \mathrm{AB}:\mathrm{ED}=3:9=1:3 \]です。よって、
\begin{eqnarray} 3\mathrm{PA} &=& \mathrm{PE} \\[5pt] &=& \mathrm{PB}+\mathrm{BE} \\[5pt] &=& \mathrm{PB}+11 \\[5pt] \end{eqnarray}と \begin{eqnarray} 3\mathrm{PB} &=& \mathrm{PD} \\[5pt] &=& \mathrm{PA}+\mathrm{AD} \\[5pt] &=& \mathrm{PA}+7 \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ちます。2つ目を1つ目に代入して \begin{eqnarray} 3\mathrm{PA} &=& \mathrm{PB}+11 \\[5pt] 3\mathrm{PA} &=& \frac{1}{3}(\mathrm{PA}+7)+11 \\[5pt] \frac{8}{3}\mathrm{PA} &=& \frac{40}{3} \\[5pt] \mathrm{PA} &=& 5 \\[5pt] \end{eqnarray}が得られ、これを2つ目に代入して \begin{eqnarray} 3\mathrm{PB} &=& \mathrm{PA}+7 \\[5pt] 3\mathrm{PB} &=& 5+7 \\[5pt] \mathrm{PB} &=& 4 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

解答

ウ：3
エオカ：117
ク：3
キク：54

解説

(2)
(ii)

方べきの定理より
\begin{eqnarray} \mathrm{PB}\cdot\mathrm{PE} &=& \mathrm{PC}\cdot\mathrm{PF} \\[5pt] 4\cdot(4+11) &=& \mathrm{PC}\cdot (\mathrm{PC}+17) \\[5pt] 60 &=& \mathrm{PC}^2+17\mathrm{PC} \\[5pt] \mathrm{PC}^2+17\mathrm{PC}-60 &=& 0 \\[5pt] (\mathrm{PC}+20)(\mathrm{PC}-3) &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}$\mathrm{PC}$ は正なので、 $\mathrm{PC}=3$ と求められます。

これより、
\begin{eqnarray} \mathrm{BC}:\mathrm{FE} &=& \mathrm{PB}:\mathrm{PF} \\[5pt] 3:\mathrm{EF} &=& 4:(3+17) \\[5pt] \mathrm{EF} &=& 15 \end{eqnarray}となります。平面 $\mathrm{ACFD}$ と球面 $S$ についても同様に方べきの定理を使うと \begin{eqnarray} \mathrm{AC}:\mathrm{FD} &=& \mathrm{PC}:\mathrm{PD} \\[5pt] 3:\mathrm{DF} &=& 3:(5+7) \\[5pt] \mathrm{DF} &=& 12 \end{eqnarray}となることがわかります。

解答

ケ：3
コサ：15
シス：12

解説

いろいろな長さを求めたので、角度について考えます。

$\angle \mathrm{ADE}$ に注目します。三角形 $\mathrm{PDE}$ は、辺の長さが $9,12,15$ 、つまり、 $3:4:5$ なので、直角三角形です。 $\mathrm{PD}\perp\mathrm{DE}$ が成り立ちます。

$\angle \mathrm{ADF}$ に注目します。三角形 $\mathrm{PDF}$ は、辺の長さが $12,12,20$ なので、直角三角形ではないことがわかります。 $\mathrm{PD}$ と $\mathrm{DF}$ は垂直ではありません。

$\angle \mathrm{EDF}$ に注目します。三角形 $\mathrm{DEF}$ は、辺の長さが $9,12,15$ 、つまり、 $3:4:5$ なので、直角三角形です。 $\mathrm{DE}\perp\mathrm{DF}$ が成り立ちます。

イメージとしては、辺の長さが $9,12,15$ の直角三角形を用意し（三角形 $\mathrm{DEF}$ と考えます）、 $\mathrm{DE}$ を中心に回転させ、90度よりも小さいところで止めて $\mathrm{F}$ が $\mathrm{P}$ にうつるようにした、という状況になっています。

これらを踏まえて考えます。

$\mathrm{PD}\perp\mathrm{DE}$ と $\mathrm{DE}\perp\mathrm{DF}$ から、直線 $\mathrm{DE}$ は3点 $\mathrm{P,D,F}$ を含む平面、つまり、平面 $\mathrm{ACFD}$ と垂直であることがわかります。

また、これより、直線 $\mathrm{DE}$ は平面 $\mathrm{ACFD}$ 上の直線と垂直なので、直線 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{DE}$ は垂直です。

$\mathrm{PD}\perp\mathrm{DE}$ と $\mathrm{DE}\perp\mathrm{DF}$ から、平面 $\mathrm{ABED}$ と平面 $\mathrm{DEF}$ のなす角は $\angle\mathrm{ADF}$ と一致します。直角ではないので、平面 $\mathrm{ABED}$ と平面 $\mathrm{DEF}$ は垂直でないことがわかります。

以上から、選択肢の中からは、誤、正、正 の4が正解だとわかります。

解答

セ：4