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共通テスト数学I・数学A 2025年度第2問 [2] 解説

🕒 2025/01/19

【必答問題】

（問題文は後日更新します）

解説

(1)
(i)

散布図をもとに、一つずつ見ていきます。

(a) について、外国人宿泊者数が100を超えているものは、3点あります。そのうち、日本人宿泊者数が2500を超えているものは2点なので、正しいことがわかります。

ちなみに、問題文に「日本人宿泊者数が1000を超えている都道府県の数は12」とありますが、これは数えてみると確かに12個あるので、「日本人宿泊者数が1000を超えている点は、重なっていませんよ」という意味で書いてあります。

(b) について、破線は
　日本人宿泊者数＝外国人宿泊者数 × 10
の式を表しており、これより上にある点は、日本人宿泊者数のほうがさらに多いことを表しています。なので、「日本人宿泊者数が外国人宿泊者数の10倍未満」とは、破線より下にある点が対応するので、1点しかありません。つまり、50%未満だから、正しいことがわかります。

解答

タ：0

解説

(1)
(ii)

四分位範囲は、第三四分位数から第一四分位数を引いて求めます。

第一四分位数は、半分にわけた小さい方の中央値なので、下側23個の中央値、つまり、下から12番目なので、351です。第3四分位数は、大きい方から12番目だから1251です。なので、四分位範囲は\[ 1251-351=900 \]です。選択肢の中では、4です。

問題文の冒頭より、第一四分位数から四分位範囲の1.5倍より以下の値は外れ値とします。この値を計算すると
\begin{eqnarray} 351-1.5\cdot 900 \lt 0 \end{eqnarray}なので、対応する値はないことがわかります。一方、第三四分位数より四分位範囲の1.5倍以上大きい値も外れ値です。この値は \begin{eqnarray} 1251+1.5\cdot 900 =1251+1350=2501 \end{eqnarray}なので、表の中では、 $\mathrm{P}45$, $\mathrm{P}46$, $\mathrm{P}47$ が該当します。どれも*印がついているので、外国人・日本人どちらも外れ値となるのは、3個あることがわかります。

解答

チ：4
ト：3

解説

(2)

$z$ の分散を出すためには\[ z_i-\bar{z} \]を2乗して足し合わせて $47$ で割って求めます。この2乗は
\begin{eqnarray} (x_i-\bar{x})^2+2(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})+(y_i-\bar{y})^2 \end{eqnarray}と分解できます。1項目を $i=1,2,\cdots,47$ として足して $47$ で割ると $s_x^2$ が出てきます。同様に、3項目からは $s_y^2$ が出てきます。2項目を $i=1,2,\cdots,47$ として足して $47$ で割ると $s_{xy}$ が出てくることから\[ s_z^2=s_x^2+2s_{xy}+s_y^2 \]が成り立ちます。

正の相関があることから、共分散は正なので、\[ s_z^2 \gt s_x^2+s_y^2 \]であることがわかります。