共通テスト 数学I・数学A 2025年度 第1問 [1] 解説
【必答問題】
問題編
問題
$a,b$ を実数とする。 $x$ について方程式\[ (2a+4b-2)x^2+(5a+11)x-b-8=0 \quad \cdots ① \]を考える。
(1) $a=1$ とする。
$b$ に着目すると、① の左辺は\[ (4x^2-1)b+16x-8 \quad\cdots ② \]と表せる。よって、② を因数分解すると\[ (2x-1)\left(\myBox{ア}bx+b+\myBox{イ}\right) \]となる。したがって、 $x=\dfrac{1}{2}$ は ① の解の一つであることがわかる。
(2) $b=2$ とする。
(i) ① の左辺を因数分解すると\[ \left(\myBox{ウ}x+\myBox{エ}\right)\left\{\left(a+\myBox{オ}\right)x-\myBox{カ}\right\} \]となる。
(ii) $a=2\sqrt{2}$ のとき、①の解は\[ x=-\dfrac{\mybox{エ}}{\mybox{ウ}},\ \myBox{キ}-\myBox{ク}\sqrt{2} \]となる。
(iii) $a=-\mybox{オ}$ であることは、①の解が $x=-\dfrac{\mybox{エ}}{\mybox{ウ}}$ だけであるための $\dBox{ケ}$ 。
$\dbox{ケ}$ の解答群
0: 必要条件であるが、十分条件ではない
1: 十分条件であるが、必要条件ではない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない
考え方
言われた通りに落ち着いて計算していけば大丈夫でしょう。因数分解したあとの形もわりとヒントになります。
最後の必要条件・十分条件の問題は、ひさしぶりに出題されましたが、解が1つだけになる場合にはどのようなケースがあるかをよく考えてみましょう。
【必答問題】
解答編
問題
$a,b$ を実数とする。 $x$ について方程式\[ (2a+4b-2)x^2+(5a+11)x-b-8=0 \quad \cdots ① \]を考える。
(1) $a=1$ とする。
$b$ に着目すると、① の左辺は\[ (4x^2-1)b+16x-8 \quad\cdots ② \]と表せる。よって、② を因数分解すると\[ (2x-1)\left(\myBox{ア}bx+b+\myBox{イ}\right) \]となる。したがって、 $x=\dfrac{1}{2}$ は ① の解の一つであることがわかる。
解説
(1)
\[ (2a+4b-2)x^2+(5a+11)x-b-8=0 \]に $a=1$ を代入すると
\begin{eqnarray}
(2+4b-2)x^2+(5+11)x-b-8 &=& 0 \\[5pt]
4bx^2+16x-b-8 &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $b$ について整理すると
\begin{eqnarray}
(4x^2-1)b+16x-8 &=& 0 \\[5pt]
(2x+1)(2x-1)b+8(2x-1) &=& 0 \\[5pt]
(2x-1)\{(2x+1)b+8\} &=& 0 \\[5pt]
(2x-1)(2bx+b+8) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これより、たしかに $x=\dfrac{1}{2}$ が解になることがわかります。
一般的に、次数の低い文字に着目するほうが因数分解しやすいので、 $x$ についてではなく、 $b$ に着目して考えるといい、という内容です。
解答
アイ：28
解答編 つづき
問題
(2) $b=2$ とする。
(i) ① の左辺を因数分解すると\[ \left(\myBox{ウ}x+\myBox{エ}\right)\left\{\left(a+\myBox{オ}\right)x-\myBox{カ}\right\} \]となる。
解説
(2)
(i)
\[ (2a+4b-2)x^2+(5a+11)x-b-8=0 \]に $b=2$ を代入して因数分解をします。(1)も参考にして、 $a$ に着目して考えます。
\begin{eqnarray}
(2a+8-2)x^2+(5a+11)x-2-8=0 \\[5pt]
(2a+6)x^2+(5a+11)x-10=0 \\[5pt]
(2x^2+5x)a+(6x^2+11-10)=0 \\[5pt]
(2x+5)ax+(2x+5)(3x-2)=0 \\[5pt]
(2x+5)\{ax+3x-2\}=0 \\[5pt]
(2x+5)\{(a+3)x-2\}=0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
ウエオカ：2532
解答編 つづき
問題
(ii) $a=2\sqrt{2}$ のとき、①の解は\[ x=-\dfrac{\mybox{エ}}{\mybox{ウ}},\ \myBox{キ}-\myBox{ク}\sqrt{2} \]となる。
解説
(2)
(ii)
(i)で $a=2\sqrt{2}$ を代入すると
\begin{eqnarray}
(2x+5)\{(2\sqrt{2}+3)x-2\}=0 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、解は\[ x=\dfrac{5}{2},\frac{2}{2\sqrt{2}+3} \]となります。2つ目の解を変形すると
\begin{eqnarray}
\frac{2}{2\sqrt{2}+3}
&=&
\frac{2(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)} \\[5pt]
&=&
\frac{4\sqrt{2}-6}{-1} \\[5pt]
&=&
6-4\sqrt{2}
\end{eqnarray}となります。
解答
キク：64
解答編 つづき
問題
(iii) $a=-\mybox{オ}$ であることは、①の解が $x=-\dfrac{\mybox{エ}}{\mybox{ウ}}$ だけであるための $\dBox{ケ}$ 。
$\dbox{ケ}$ の解答群
0: 必要条件であるが、十分条件ではない
1: 十分条件であるが、必要条件ではない
2: 必要十分条件である
3: 必要条件でも十分条件でもない
解説
(2)
(iii)
①は\[ (2x+5)\{(a+3)x-2\}=0 \]なので、$a=-3$ のときには
\begin{eqnarray}
-2(2x+5)=0
\end{eqnarray}となり、解は $-\dfrac{5}{2}$ だけとなります。
逆に、解が $-\dfrac{5}{2}$ だけとなるのは、$(a+3)x-2=0$ の解も $-\dfrac{5}{2}$ となる場合がありえます。こうなるような $a$ を求めると
\begin{eqnarray}
(a+3)\cdot\frac{-5}{2}-2 &=& 0 \\[5pt]
-5(a+3)-4 &=& 0 \\[5pt]
-5a-15-4 &=& 0 \\[5pt]
a &=& -\frac{19}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。つまり、解が $-\dfrac{5}{2}$ だけであっても、 $a=-3$ とは言えないことがわかります。
こうして、 $a=-3$ であることは、①の解が $x=-\dfrac{5}{2}$ だけであるための十分条件であるが、必要条件ではない、ことがわかります。
解答
ケ：1
