共通テスト 数学I・数学A 2025年度 第1問 [1] 解説
【必答問題】
（問題文は後日更新します）
解説
(1)
\[ (2a+4b-2)x^2+(5a+11)x-b-8=0 \]に $a=1$ を代入すると
\begin{eqnarray}
(2+4b-2)x^2+(5+11)x-b-8 &=& 0 \\[5pt]
4bx^2+16x-b-8 &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $b$ について整理すると
\begin{eqnarray}
(4x^2-1)b+16x-8 &=& 0 \\[5pt]
(2x+1)(2x-1)b+8(2x-1) &=& 0 \\[5pt]
(2x-1)\{(2x+1)b+8\} &=& 0 \\[5pt]
(2x-1)(2bx+b+8) &=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。これより、たしかに $x=\dfrac{1}{2}$ が解になることがわかります。
一般的に、次数の低い文字に着目するほうが因数分解しやすいので、 $x$ についてではなく、 $b$ に着目して考えるといい、という内容です。
解答
アイ：28
解説
(2)
(i)
\[ (2a+4b-2)x^2+(5a+11)x-b-8=0 \]に $b=2$ を代入して因数分解をします。(1)も参考にして、 $a$ に着目して考えます。
\begin{eqnarray}
(2a+8-2)x^2+(5a+11)x-2-8=0 \\[5pt]
(2a+6)x^2+(5a+11)x-10=0 \\[5pt]
(2x^2+5x)a+(6x^2+11-10)=0 \\[5pt]
(2x+5)ax+(2x+5)(3x-2)=0 \\[5pt]
(2x+5)\{ax+3x-2\}=0 \\[5pt]
(2x+5)\{(a+3)x-2\}=0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。
解答
ウエオカ：2532
解説
(2)
(ii)
(i)で $a=2\sqrt{2}$ を代入すると
\begin{eqnarray}
(2x+5)\{(2\sqrt{2}+3)x-2\}=0 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので、解は\[ x=\dfrac{5}{2},\frac{2}{2\sqrt{2}+3} \]となります。2つ目の解を変形すると
\begin{eqnarray}
\frac{2}{2\sqrt{2}+3}
&=&
\frac{2(2\sqrt{2}-3)}{(2\sqrt{2}+3)(2\sqrt{2}-3)} \\[5pt]
&=&
\frac{4\sqrt{2}-6}{-1} \\[5pt]
&=&
6-4\sqrt{2}
\end{eqnarray}となります。
解答
キク：64
解説
(2)
(iii)
①は\[ (2x+5)\{(a+3)x-2\}=0 \]なので、$a=-3$ のときには
\begin{eqnarray}
-2(2x+5)=0
\end{eqnarray}となり、解は $-\dfrac{5}{2}$ だけとなります。
逆に、解が $-\dfrac{5}{2}$ となるのは、$(a+3)x-2=0$ の解も $-\dfrac{5}{2}$ となる場合がありえます。このときの $a$ を求めると
\begin{eqnarray}
(a+3)\cdot\frac{-5}{2}-2 &=& 0 \\[5pt]
-5(a+3)-4 &=& 0 \\[5pt]
-5a-15-4 &=& 0 \\[5pt]
a &=& -\frac{19}{5} \\[5pt]
\end{eqnarray}となり、 $a=-3$ とは言えないことがわかります。
こうして、 $a=-3$ であることは、①の解が $x=-\dfrac{5}{2}$ だけであるための十分条件であるが、必要条件ではない、ことがわかります。
解答
ケ：1
