京都大学理学部特色入試 2016年度第2問解説

🕒 2016/03/13 🔄 2023/05/01

（2015年11月に行われた特色入試の問題です。2016年に行われた特色入試の問題はこちら）

問題編

問題

　$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で定義された連続関数 $f(x)$ に対し、x が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲を動くときの $f(x)$ の最大値を $\displaystyle \max_{0 \leqq x \leqq 1}f(x)$ とおく。以下の設問に答えよ。

(1) $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で定義された狭義単調増加な連続関数 $f(x)$ に対し、以下の不等式が成立することを示せ。\[ \int_0^1|f(x)|dx \leqq 3 \max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f(t) dt \right| \]ただし、 $f(x)$ が狭義単調増加であるとは、「 $x\lt y$ ならば $f(x)\lt f(y)$ 」を満たすことをいう。

(2) 以下の条件（Ａ）を満たすような実数 C は存在しないことを示せ。
　（Ａ） $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で定義されたどのような連続関数 $f(x)$ に対しても、不等式\[ \int_0^1|f(x)|dx \leqq C \max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f(t) dt \right| \]が成立する。

考え方

抽象的な問題ですが、抽象的であるがゆえに使える道具が少ないので、解きやすいとも言えます。実際、2016年度の特色入試の中では、この問題が一番簡単です（この難易度で…）。

(1)は、狭義単調増加な連続関数なので、グラフは右肩上がりになります。x軸を横切るのは1回だけなので、その前後で左辺の絶対値が外れます。

絶対値を外したあとは、右辺が使える形に変形していくと、「3」という数字も出てきます。$f(x)$が常に正、常に負の場合を分けたくなりますが、特に分けなくても証明することはできます。

(2)は、具体的な反例を書くのが手っ取り早いです。左辺は、 $y=f(x)$ のグラフが x 軸を何度も横切る場合、どんどん面積が加算されていきます。一方、右辺は積分してから絶対値をつけているので、 x 軸を何度も横切った場合、 x 軸の上下にある部分の面積がどんどん相殺されていきます。

ということで、 x 軸を何度も横切るような例を考えればいいわけですね。 x 軸を何度も横切る折れ線や、三角関数を考えるのが自然です。ここでは、式を書きやすい三角関数で考えてみます。

解答編

問題

　$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で定義された連続関数 $f(x)$ に対し、x が $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲を動くときの $f(x)$ の最大値を $\displaystyle \max_{0 \leqq x \leqq 1}f(x)$ とおく。以下の設問に答えよ。

(1) $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で定義された狭義単調増加な連続関数 $f(x)$ に対し、以下の不等式が成立することを示せ。\[ \int_0^1|f(x)|dx \leqq 3 \max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f(t) dt \right| \]ただし、 $f(x)$ が狭義単調増加であるとは、「 $x\lt y$ ならば $f(x)\lt f(y)$ 」を満たすことをいう。

解答

(1) $f(x)$ は狭義単調増加な連続関数なので、 $f(0) \lt 0$ かつ $f(1)\gt 0$ のときは、 $f(a)=0$ となる $0 \lt a \lt 1$ がただ1つ存在する。 $f(0) \geqq 0$ のときは、 $a=0$ 、 $f(1) \leqq 0$ のときは$a=1$ とする。

このとき、 $0 \lt x \lt a$ のときは $f(x)\leqq 0$ で、 $a \lt x \lt 1$ のときは $f(x)\geqq 0$ なので、
\begin{eqnarray} \int_0^1|f(x)|dx &=& \int_0^a|f(x)|dx + \int_a^1|f(x)|dx \\[5pt] &=& -\int_0^a f(x) dx + \int_a^1 f(x) dx \\[5pt] &=& -2\int_0^a f(x) dx + \int_0^1 f(x) dx \\[5pt] &\leqq& 2\left| \int_0^a f(x) dx \right| + \left| \int_0^1 f(x) dx \right| \\[5pt] &\leqq& 2 \max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f(t) dt \right| + \max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f(t) dt \right| \\[5pt] &=& 3 \max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f(t) dt \right| \end{eqnarray}となる。よって、与えられた不等式が成り立つ。

解答編つづき

問題

(2) 以下の条件（Ａ）を満たすような実数 C は存在しないことを示せ。
　（Ａ） $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で定義されたどのような連続関数 $f(x)$ に対しても、不等式\[ \int_0^1|f(x)|dx \leqq C \max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f(t) dt \right| \]が成立する。

解答

(2) n を自然数とし、 $f_n(x)=\sin 2n\pi x$ とする。各 $f_n$ は、 $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で定義された連続関数である。

このとき、（Ａ）の左辺は
\begin{eqnarray} \int_0^1|f_n(x)|dx &=& 2n\int_0^{\frac{1}{2n} } \sin 2n\pi x dx \\[5pt] &=& 2n\left[ -\frac{\cos 2n\pi x}{2n\pi} \right]_0^{\frac{1}{2n} } \\[5pt] &=& \frac{2}{\pi} \end{eqnarray}となる。

また、
\begin{eqnarray} \int_0^x f_n(t) dt &=& \left[ \frac{ -\cos 2n\pi t }{2n\pi} \right]_0^x \\[5pt] &=& \frac{ -\cos 2n\pi x + 1 }{2n\pi} \end{eqnarray}なので、\[\max_{0 \leqq x \leqq 1} \left| \int_0^x f_n(t) dt \right| = \frac{ 1 }{n\pi} \]となる。

以上から、（Ａ）の不等式は、 $\displaystyle \frac{2}{\pi} \leqq \frac{ C }{n\pi}$ となるが、n は任意の自然数なので、これを満たす C はない。よって、（Ａ）を満たす実数 C は存在しない。