京都大学 理系 2025年度 第1問 解説
問題編
問題
次の各問いに答えよ。
問１ $i$ は虚数単位とする。複素数 $z$ が、絶対値が $2$ である複素数全体を動くとき、 $\left|z-\dfrac{i}{z}\right|$ の最大値と最小値を求めよ。
問２ 次の定積分の値を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx$
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}} dx$
考え方
問１は、複素数平面の分野でよくある問題です。 $z$ のまま考えても、極形式で考えてもどちらでもいいでしょう。
問２は、積分の計算問題です。(2)は同じ問題を解いたことがある人もいるでしょう。(1)は計算しやすいようにパーツに分けて考えます。どちらも特別難しいわけではないですが、練習していないと難しく感じるかもしれません。
解答編
問題
問１ $i$ は虚数単位とする。複素数 $z$ が、絶対値が $2$ である複素数全体を動くとき、 $\left|z-\dfrac{i}{z}\right|$ の最大値と最小値を求めよ。
解答
問１
$z=2(\cos\theta+i\sin\theta)$ と書ける $(0\leqq \theta\lt 2\pi)$。
\begin{eqnarray}
& &
z-\dfrac{i}{z} \\[5pt]
&=&
2(\cos\theta+i\sin\theta)-\frac{1}{2}i(\cos\theta-i\sin\theta) \\[5pt]
&=&
\left(2\cos\theta-\frac{1}{2}\sin\theta\right)
+i\left(2\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta\right)
\end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
& &
\left|z-\dfrac{i}{z}\right|^2 \\[5pt]
&=&
\left(2\cos\theta-\frac{1}{2}\sin\theta\right)^2
+\left(2\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta\right)^2 \\[5pt]
&=&
4-4\cos\theta\sin\theta+\frac{1}{4} \\[5pt]
&=&
\frac{17}{4}-2\sin2\theta \\[5pt]
\end{eqnarray}となるから、
\begin{eqnarray}
& & \frac{17}{4}-2 \leqq \left|z-\dfrac{i}{z}\right|^2 \leqq \frac{17}{4}+2 \\[5pt]
& & \frac{9}{4} \leqq \left|z-\dfrac{i}{z}\right|^2 \leqq \frac{25}{4} \\[5pt]
& & \frac{3}{2} \leqq \left|z-\dfrac{i}{z}\right| \leqq \frac{5}{2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。左側の等号は $\theta=\dfrac{1}{4}\pi,\dfrac{5}{4}\pi$ のときに成り立つ。右側の等号は $\theta=\dfrac{3}{4}\pi,\dfrac{7}{4}\pi$ のときに成り立つ。
よって、最大値は $\dfrac{5}{2}$ で、最小値は $\dfrac{3}{2}$ …（答）
解答編 つづき
問題
問２ 次の定積分の値を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx$
解答
問２(1)
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{\sqrt{3}} \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \dfrac{2x^3+1}{x^2+1} \right)dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{\sqrt{3}} \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 2x+\dfrac{-2x+1}{x^2+1} \right)dx \\[5pt]
\end{eqnarray}と変形できる。
$t=\sqrt{x^2+1}$ とすると、\[ dt=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x dx=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx \]なので
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx \\[5pt]
&=&
\int_1^2 dt=1 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。また、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\sqrt{3}} 2x dx \\[5pt]
&=&
\Big[x^2\Big]_0^{\sqrt{3}}=3 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{-2x}{x^2+1} dx \\[5pt]
&=&
\Big[-\log|x^2+1| \Big]_0^{\sqrt{3}} \\[5pt]
&=&
-\log 4=-2\log 2 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。最後に
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{x^2+1} dx \\[5pt]
\end{eqnarray}を求める。 $x=\tan t$ とおく$\left(0\leqq t\lt \dfrac{\pi}{2}\right)$と、
\begin{eqnarray}
dx &=& \frac{1}{\cos^2 t} dt
\end{eqnarray}であり、 $x: 0\to \sqrt{3}$ のとき $t:0\to\dfrac{\pi}{3}$ なので、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{x^2+1} dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\tan^2 t+1} \cdot\frac{1}{\cos^2 t} dt \\[5pt]
&=&
\int_0^{\frac{\pi}{3}} dt=\frac{\pi}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
以上から、
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{\sqrt{3}} \left( \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 2x+\dfrac{-2x+1}{x^2+1} \right)dx \\[5pt]
&=&
1+3-2\log 2+\dfrac{\pi}{3} \\[5pt]
&=&
4-2\log 2+\dfrac{\pi}{3} \\[5pt]
\end{eqnarray}と求められる。（答）
解答編 つづき
問題
問２ 次の定積分の値を求めよ。
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}} dx$
解答
問２(2)
\begin{eqnarray}
& &
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}} dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\dfrac{ 2\sin^2\frac{x}{2} }{ 2\cos^2\frac{x}{2} }} dx \\[5pt]
&=&
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan \frac{x}{2} dx \\[5pt]
&=&
\left[ -2\log \left| \cos\frac{x}{2} \right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\[5pt]
&=&
-2\log \frac{1}{\sqrt{2}} \\[5pt]
&=&
\log 2 \\[5pt]
\end{eqnarray}…（答）
