京都大学 理系 2015年度 第1問 解説

問題編

【問題】
2つの関数 $\displaystyle y=\sin\left( x+\frac{\pi}{8}\right)$ と $y=\sin 2x$ のグラフの $\displaystyle 0\leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の部分で囲まれる領域を、x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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【考え方】
これは単なる計算問題ですね。2つのグラフもそんなに複雑ではないし、交点が求めづらいわけでもありません。グラフが$x$軸を横断していると計算がめんどくさくなりますが、この問題はそんなこともないです。オーソドックスな問題なので、落ち着いて計算すれば問題ないと思います。

回転体の体積を求める際、$\sin^2x$の積分が出てきますが、半角の公式を使って処理するのもよくあるやり方です。